Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

133
ε
ε
4
21−
, например
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
= 1
4
21
ε
ε
ε
N (выражение
[
]
a
означает
целую часть некоторого числа ). Т.о., для
a
0>
∀
ε
мы опреде-
лили число )(
ε
ε
NN
=
, что неравенство ε<−
+ 2
1
1n2
n
выпол-
няется при всех . Сл–но, по определению предела число-
ε
Nn >
вой последовательности, нами доказано, что
2
1
12
lim =
+
∞→
n
n
n
. ►
Пример 2. Пусть
.
423
2
2
2
−+
+−
=
nn
nn
x
n
Доказать, что последо-
вательность будет сходящейся. Чему равен предел этой по-
()
n
x
следовательности?
◄ В отличие от предыдущего примера предельное значение
a
, к которому стремится при , неизвестно, более то-
n
x
∞→n
го, у нас нет даже уверенности, что оно существует. Поэтому
необходимо подробнее описать поведение общего члена нашей
последовательности при изменении , для этого преобразуем
n
n
x следующим образом:
.
42
3
21
1
42
3
21
1
423
2
2
2
2
2
2
2
2
2
nn
nn
nn
n
nn
n
nn
nn
x
n
−+
+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
−+
+−
=
Очевидно, слагаемые
2
1
,
1
nn
при
∞
→n
становятся и ос-
таются сколь угодно малыми, в таком случае выражение в пра-
вой части полученного равенства, похоже, должно стремиться к
3
1
. Т.о., у нас возникло предположение, что пределом данной
последовательности должно быть число
3
1
.

Страницы