Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

160
ГЛАВА 8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
§ 1. Понятие непрерывности функции
Опр. 1. Функцию
)(xfy
=
называют непрерывной в точке
a
x
= , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки
a
x
= и в самой точке;
2) существует предел функции , и он равен значе-
нию функции в этой точке, т.е.
)(lim xf
ax→
)()(lim afxf
ax
=
→
.
Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент
получит приращение
0
x
x
Δ
и примет значение xxx
Δ
+
=
0
. В об-
щем случае функция также получит некоторое приращение
)()(
00
xfxxfy
−
Δ+=Δ .
Опр. 2. Функцию называют непрерывной в точке ,
если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и
если бесконечно малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции, т.е.
)(xf
0
x
0lim
0
=
Δ
→Δ
y
x
или 0)]()([lim
00
0
=
−
Δ
+
→Δ
xfxxf
x
.
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каж-
дой точке, в которой она определена.
Из этой теоремы следует важное для решения задач по тео-
рии пределов следствие. Запишем условие непрерывности в ви-
де
)()(lim
00
0
xfxxf
x
=
Δ
+
→Δ
или, что то же самое,
. Но
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
xx
xx
0
lim
0
→
=
и, сл–но,
=
→
)(lim
0
xf
xx
. Для любой непрерывной функции во всех
точках области определения ее символы (и соответствующие
операции) предела и функции можно поменять местами:
, то есть предел непрерывной функ-
ции равен функции предела.
)()lim(
0
0
xfxf
xx
==
→
))(lim())((lim xfFxfF
axax →→
=
Например:

Страницы