Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

136
Пример 4. Показать, что
0lim
22
=
+
+
∞→
∞→
yx
yx
y
x
.
◄ Зададимся произвольными
n .0>
ε
Если
),(),(
∞
∈
R
UyxM то δ>+
22
yx или и
222
δ>+ yx
222
11
δ
<
+ yx
; далее, очевидно, что или
22
2 yxxy +≤
,1
2
22
≤
+
yx
xy
поэтому
2222
1
)(
2
δ
<
+ yx
xy
и, следовательно,
.
2
)(
21
0),(
22222
δ
<
+
+
+
=−
yx
xy
yx
yxf
Положив
,
2
ε
=δ
получим необходимые неравенства.►
Пример 5. Вычислить
22
22
1
sin)(lim
yx
yx
y
x
+
+
∞→
∞→
.
◄ Введем полярные координаты
ϕ
=
ϕ
=
sin,cos ryrx ,
тогда
2
2
22
22
1
sin
1
sin)(
r
r
yx
yx
=
+
+ .
Из условия
,,
∞
→
y
x
вытекает, что
∞
→
r
и
1
sin
lim
1
sinlim
2
2
==
∞→∞→
t
t
r
r
tr
. Здесь произвели замену переменной
t
r
1
2
= , откуда если
∞
→
r
, то ► .0→t
§ 3. Непрерывность функции
Пусть функция
),( yxfz
=
определена в некоторой
-ок-
рестности точки , в том числе в самой точке
),(
00
yx ),(
00
yx .
Опр. 1. Функция ),( yxfz
=
называется непрерывной в
точке
),(
00
yx , если предел функции
),( yxfz
=
в точке

Страницы