Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

166
Опр. 3. Задачей Коши для уравнения (2) называется задача
отыскания решения
)(xyy =
этого уравнения, удовлетворяю-
щего условию:
Dyxyxy ∈= ),(,)(
0000
.
Условие (3) — начальное условие, а числа
(3)
00
yx ,
– началь-
ные данные задачи Коши (2) – (3).
Геометрическая интерпретация задачи Коши – найти инте-
гральную кривую ОДУ (2), проходящую через точку
Dyx ∈),(
00
.
Говорят, что решение задачи Коши для уравнения (2) с на-
чальным условием (3) единственно, если существует такая ок-
рестность точки
0
x
, что
1) в этой окрестности определено решение с начальными
данными
00
, yx
;
2) не существует другого решения с начальными данными
00
, yx
определенного в той же окрестности.
Имеет место следующая теорема существования и единст-
венности решения задачи Коши (2) – (3).
Теорема. Если в области
D
плоскости
функция
),( yxf
и ее частная производная
y
f
∂
∂
непрерывны по совокуп-
ности аргументов, то существует единственное решение
)(xyy =
уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию
0
0
y
y
xx
=
=
,
( )
Dyx ∈
00
,
.
Пусть
D
есть область в плоскости
, через каждую
точку которой проходит одна и только одна интегральная кри-
вая ОДУ (2). В дальнейшем такую область условимся называть
областью существования и единственности решения задачи Ко-
ши или, более кратко, областью существования и единственно-
сти рассматриваемого уравнения.
Опр. 4. Функция
( )
Cxy ,
ϕ
=
, (4)

Страницы