Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

168
()
yxfdy
dx
,
1
= , (6)
в котором считают
x
функцией от
y
. Совокупность таких то-
чек присоединяют к области задания уравнения (2), а решения
уравнения (6) – к решениям ОДУ (2).
()
yxx =
Уравнениям (2) и (6) равносильно ОДУ первого порядка в
дифференциальной форме вида
(
)
(
)
0,,
=
+
dyyxNdxyxM . (7)
Оно не задано в тех точках
(
)
yx,
, где непрерывные функ-
ции
M
и N обращаются в нуль одновременно. В уравнение (7)
переменные
x
и
y
входят равноправно. При решении конкрет-
ных уравнений вида (7) часто бывает удобно в отличие от тра-
диционных обозначений рассматривать переменную величину
x
как функцию от
y
.
1.2. Уравнения с разделенными
и разделяющимися переменными
Опр. 8. Уравнение с разделенными переменными — это
уравнение вида
()
(
)
0
=
+
dyyNdxxM
или
()
(
)
dyyNdxxM
=
, (8)
где
()
xM и
(
)
yN функции, зависящие только от
x
и
y
соот-
ветственно, являющиеся непрерывными при рассматриваемых
значения
x
и
y
.
Общим интегралом такого уравнения является равенство
()
(
)
∫
=
∫
+
CdyyNdxxM или
()
(
)
∫
+
∫
=
CdyyNdxxM ,
в котором под выражениями
(
)
(
)
∫
∫
dyyNdxxM , понимаются
произвольные первообразные функций
M
и N , соответствен-
но, – произвольная постоянная.
С
Пример 1. Проверить, что общим интегралом ОДУ
в области
0=+ dyydxx
,, +∞<+∞< yx является равенство
Cyx =+
22
. (9)
◄ Действительно, проинтегрировав его левую часть, полу-
чим

Страницы