Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

167
определенная в некоторой области изменения переменных
x
и
и непрерывно дифференцируемая по
C
x
, называется общим
решением
уравнения (2) в области
D
, если
1) равенство (4) разрешимо в
D
относительно C :
(
)
yxC ,
ψ
=
, (5)
2) функция (4) является решением ОДУ (2) при всех значе-
ниях , определяемых формулой (5), когда точка
C
(
)
yx, пробе-
гает область
D .
Переменная C в (4) называется произвольной постоянной
(константой).
Опр. 5. Равенство
(
)
0,,
=
CyxФ , неявно задающее общее
решение, называется
общим интегралом ОДУ (2).
Решение
(
)
xyy
=
уравнения (2) называется частным, если
в каждой точке соответствующей ему интегральной кривой со-
храняется единственность решения задачи Коши. Через каждую
точку
(
00
, yx
)
такой кривой проходит единственная интеграль-
ная кривая уравнения (2).
Опр. 6. Решение
(
)
0
,Cxy
ϕ
=
, получающееся из общего
решения (4) фиксированием произвольной константы , есть
C
частное решение.
Опр. 7. Говорят, что решение
(
)
xyy = уравнения (2) осо-
бое,
если в каждой точке соответствующей ему интегральной
кривой нарушается единственность решения задачи Коши.
Если функция
(
)
yxf , в правой части ОДУ (2) непрерывна
по
,
x
y
и имеет частную производную по
y
(ограниченную
или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые,
во всех точках которых
∞=
∂
∂
y
f
.
Если в некоторых точках плоскости OXY функция
(
)
yxf ,
обращается в бесконечность, то в окрестности таких точек рас-
сматривают перевернутое по отношению к (2) уравнение

Страницы