ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
187
Пример 1. Решить уравнение .22
23
yxxy
dx
dy
−=+
◄ Обе части уравнения разделим на
(
)
0
2
≠yy , тогда бу-
дем иметь:
.22
312
xxy
dx
dy
y −=+
−−
(39)
Положим , откуда В силу введенной
подстановки уравнение (39) можно записать сл. обр.:
zy =
−1
.
2
yyz
′
−=
′
−
3
22 xxzz −=+
′
−
или
3
22 xxzz =−
′
. (40)
Последнее уравнение – линейное относительно функции
. Его общее решение есть
z
(
)
2
~
1
2 x
eCxz ++−= ,
где
C
~
– произвольная константа. Отсюда, учитывая, что
записываем общий интеграл исходного уравнения
,
1−
= yz
(
)
()
.0
~
1
1
2
2
≠++−= yeCx
y
x
Так как показатель степени
y
в правой части нашего урав-
нения равен 2, то потерянное при интегрировании решение
является частным. ►
0=y
Замечание. При интегрировании уравнения Бернулли мож-
но также непосредственно применить подстановку
uvy
=
или
метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
2
1
xy
x
y
y =−
′
. (41)
◄ Уравнение (41) – это уравнение Бернулли. Положим
uv
y
= , тогда (41) запишется в виде
2
1
2
1
vxu
x
uv
vuvu =−
′
+
′
или .
2
1
2
1
vxuvuv
x
u
u =
′
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- …
- следующая ›
- последняя »
