Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

188
Функцию выберем так, чтобы
u
.0=−
′
x
u
u
Например,
пусть
x
u = . Подставив
x
вместо в последнее уравнение и
учитывая, что
u
1
=
′
=
′
xu , для определения будем иметь
уравнение
v
.
2
1
2
3
vxvx =
′
(42)
Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися
переменными, его общий интеграл есть
Cxv =−
2
3
2
1
3
2
2
, откуда
2
2
3
1
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
xCv ,
где
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
11
C
CC
– произвольная константа. Сл–но, общее ре-
шение ЛДУ (41) есть
2
2
3
1
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
xCxy . (43)
Заметим, что при интегрировании уравнения (42) методом
разделения переменных мы теряем решение
0
=
v , это ведет к
потере решения
(
)
(
)
00
≠
=
=
xxyy уравнения (41). Так как в
правой части (41) стоит степень
y с показателем
2
1
, то теряе-
мое решение является особым.
Рассмотрим другой способ решения уравнения (41), а
именно проинтегрируем его методом вариации произвольной
постоянной. Запишем ЛОДУ, соответствующее (41):
0=−
′
x
y
y
.
Его общее решение есть
.Cxy
=
Пусть
(
)
xCC
=
, тогда
общее решение ( 1 .41) будем искать в виде
(
)
.xxCy
=
(44)

Страницы