Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

190
которой односвязной области плоскости , то левая
часть
D OXY
()
(
)
dyyxNdxyxM ,,
+
уравнения (45) будет являться
полным дифференциалом некоторой функции
(
)
yxU , т. и т.
т., когда выполняется равенство
x
yxN
y
yxM
∂
∂
=
∂
∂
),(),(
, Dyx
∈
),( . (46)
Интегрирование уравнения в полных дифференциалах сво-
дится к нахождению по функциям и соответ-
ствующей функции
),( yxM ),( yxN
(
)
yxU , . Особые решения отсутствуют.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
(
)
.02
22
=−+ dyyxxydx
◄ Данное уравнение есть уравнение в полных дифферен-
циалах, так как функции и
xyyxM 2),( =
(
)
22
, yxyxN −=
непрерывны во всей плоскости вместе со своими частными про-
изводными, при этом выполняется условие (46):
()
()
x
yxN
yx
x
xxy
yy
yxM
∂
∂
=−
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
),(
22
),(
22
.
Т. о., левая часть данного уравнения является полным диф-
ференциалом некоторой функции
(
)
yxU , . Так как
,dy
y
U
dx
x
U
dU
∂
∂
+
∂
∂
= то имеем соотношения
.,2
22
yx
y
U
xy
x
U
−=
∂
∂
=
∂
∂
Из первого, интегрированием по
x
, получаем
(
)
(
)
∫
+= yxydxyxU
ϕ
2,
или
(
)
(
)
yyxyxU
ϕ
+=
2
, . (47)
Здесь
()
y
ϕ
– непрерывно дифференцируемая функция, по-
стоянная интегрирования. Считаем ее зависящей от
y
, ибо ин-
тегрирование производилось по
x
. Из (47) находим

Страницы