ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
189
Подставив
(
)
xxCy
=
и
()
(
)
,xCxxCy
+
′
=
′
в уравнение
(41), будем иметь:
() () () ()
[]
2
1
2
1
1
xxCxxxC
x
xCxxC =−+
′
,
или
() ()
[]
(
)
()
[]
()
[]
()
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dxxxdCxC
xxC
dx
xdC
xxCxC
=⇒
⇒=⇒=
′
−
Проинтегрировав последнее уравнение, находим
()
[]
,
~
3
2
2
2
3
2
1
CxxC += или
()
2
1
2
3
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
CxxC ,
где – произвольная константа,
1
C
2
1
C
C
~
= . Подставляя в
(44) получаем общее решение уравнения (44) в форме (43)
)(xC
2
1
2
3
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
Cxxy .►
1.6. Уравнения в полных дифференциалах
Опр. 14. Дифференциальное уравнение вида
(
)
(
)
0,,
=
+
dyyxNdxyxM (45)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его ле-
вая часть представляет собой полный дифференциал некоторой
функции независимых переменных
(
yxU ,
)
x
, . y
Общий интеграл такого уравнения имеет вид
(
)
CyxU
=
,
.
Следующая теорема дает признак того, что уравнение вида
(45) является уравнением в полных дифференциалах.
Теорема. Если функции и непрерывны
вместе с частными производными
),( yxM ),( yxN
y
yxM
∂
∂
),(
и
x
yxN
∂
∂
),(
в не-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- …
- следующая ›
- последняя »
