Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

198
Подставляя в уравнение (54) вместо
(),
y
py
′
=
dp
y
p
dy
′′
=
и
т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет
, т.е. на единицу ниже.
1(n − )
Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и
12 1
( , , ,..., )
n
pyCCC
ϕ
−
= – его решение, то нахождение общего
интеграла данного уравнения сводится к интегрированию
12 1
12 1
() ()
( , , ,..., )
.
( , , ,..., )
n
n
dy
ypy py
dx
dy pdx y C C C dx
dy
dx
yC C C
−
−
′
=⇒=⇒
⇒= = ⇒
⇒=
ϕ
ϕ
Откуда получаем общее решение ОДУ (54)
12 1
.
( , , ,..., )
n
n
dy
x
C
yC C C
ϕ
−
=+
∫
Одна из произвольных постоянных входит в качестве
слагаемого к
n
C
x
, а это означает, что всякую интегральную
кривую можно перемещать параллельно оси .
OY
Пример 4. Найти общий интеграл уравнения
2
30yy y
′ ′′′ ′′
−=.
◄ Положим
(),
y
py
′
= ,
dp
yp
dy
′′
=
2
2
2
2
dp d p
yp p
dy dy
⎛⎞
′′′
=+
⎜⎟
⎝⎠
и подставим в исходное уравнение, тогда получим
22
2
22
2
2
2
32
2
30
20.
dp d p dp
pp p p
dy dy dy
dp dp
pp
dy dy
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
+
−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⇒− =
⎜⎟
⎝⎠
⇒

Страницы