Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

201
тождество , причем хотя бы один из постоянных
коэффициентов
11 2 2
0yyα+α ≡
1
α
и
2
α
не равен нулю.
Теорема 1. (необходимое и достаточное условие линейной
зависимости решений). Равенство нулю определителя
Вронского
12
(, )
y
y
Δ
является необходимым и достаточным
условием линейной зависимости решений
1
y
и
2
y
, т.е. два
решения
1
y
и
2
y
уравнения (56) линейно независимы тогда и
только тогда, когда определитель Вронского
12
(, )
y
y
Δ
отличен от нуля.
Теорема 2. Если
1
y
и
2
y
– два линейно независимых
решения уравнения (56), то формула
11 2 2
Cy Cy
=
+ ,
где и – произвольные постоянные, дает все решения
этого уравнения.
1
C
2
C
Опр. 6. Определителем Вронского (вронскианом) системы
функций
12
( ), ( ),..., ( )
n
y
xyx yx называется определитель
12
12
(1) (1) (1)
12
() () ... ()
() () ... ()
() .
... ... ... ...
() () ... ()
n
n
nn n
n
y
xyx yx
y
xyx yx
Wx
y
xy x y x
−− −
′′ ′
=
(58)
На решения
12
, ,...,
n
y
yy уравнения (55) распространяются
определения линейной зависимости (независимости) и теорема
о необходимом и достаточном условии линейной зависимости
решений.
Пример 1. Исследовать на линейную зависимость системы
функций:
1)
1
x
y
e
−
= и
3
2
x
y
e= ;
2)
1
y
x= ,
2
0y
=
,
3
x
y
e
=
.
◄ 1) Составим и вычислим определитель Вронского по
формуле (57):

Страницы