Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

203
() () ().
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+= (60)
Решение уравнения (60) будем рассматривать на
промежутке непрерывности функций
(),(), ().
p
xqx fx
Уравнение
0() ()ypxyqxy
′
′′
+
+= (56)
называется ЛОДУ, соответствующим уравнению (60).
Пусть
1
y
,
2
y
– два линейно независимых решения (56),
11 2 2
y
Cy Cy=+ – общее решение (56),
%
– частное решение
ЛНДУ (60).
Общее решение ЛНДУ второго порядка равно сумме
общего решения соответствующего однородного уравнения и
какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Т. о., формула общего решения уравнения (60) имеет вид
11 2 2
y
yyCyCy y
=
+= + +
%%
.
Заметим, что это свойство годится для ЛНДУ любого
порядка.
Рассмотрим уравнение вида:
12
() () () ()
y
pxy qxy f x f x
′
′′
+
+=+. (61)
Теорема 3 (принцип суперпозиции). Если правая часть
ЛНДУ (61) есть сумма двух функций
12
() () ()
f
xfxfx
=
+ и
1
y
x
′
() – частное решение уравнения
1
() () ()
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+=,
а
2
y
x()
%
– частное решение уравнения
2
() () ()
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+=,
то сумма
12
() () ()
y
xyxyx
=
+
%% %
есть некоторое частное
решение уравнения (61).
Если известно общее решение
11 2 2
y
Cy Cy=+ уравнения
(56) соответствующего уравнению (60), то для определения
частного решения уравнения (60) можно воспользоваться
методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
()yx
%

Страницы