Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

204
Рассмотрим уравнение (60). Пусть
)(
~
xy
– какое-либо ре-
шение уравнения (60), а
1
y
,
2
y
– линейно независимые решения
соответствующего однородного уравнения (56), тогда формула
yyCyCy
~
2211
++=
, где
21
,CC
– произвольные постоянные,
дает общее решение уравнения (60).
При этом, если
1
y
,
2
y
известны, то решение уравнения (60)
может быть получено по формуле:
,)()(
~
2211
yxCyxCy +=
где
определяются из системы уравнений первой
степени
=
′′
+
′′
=
′
+
′
).()()(
,0)()(
2211
2211
xfyxCyxC
yxCyxC
(62)
Система (62) имеет единственное решение
)()(),()(
21
xxCxxC
ψϕ
=
′
=
′
, так как ее определитель – это опре-
делитель Вронского
0
21
21
≠
′′
yy
yy
. Т. о.,
∫
=
′
dxxxC )()(
1
ϕ
,
∫
=
′
dxxxC )()(
2
ψ
.
Для ЛНДУ
n
-го порядка
),()()(
)1(
1
)(
xfyxpyxpy
n
nn
=+++
−
где
)(),(,),(
1
xfxpxp
n
– непрерывные на
),( ba
функции,
общее решение имеет вид
nn
yxCyxCyxCy )()()(
2211
+++=
,
где
n
yy ,,
1
– линейно независимые решения ЛОДУ, соответ-
ствующего данному ЛНДУ, а
)(,),(
1
xCxC
n
– функции, про-
изводные которых удовлетворяют системе уравнений:

Страницы