ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
206
Итак,
223
11 1
.
88 4
x
xxx x
y
ee e e e
−−
=− − =−
%
Общее решение
уравнения имеет вид
3
12
1
,
4
x
x
yyyCe Ce e
−
=+= + −
%
x
где
– произвольные постоянные.►
12
,CC
3.3. ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Общий вид линейного дифференциального уравнения
порядка с постоянными коэффициентами есть
n
(
)
(
)
1
11
... 0,
nn
nn
yay ayay
−
−
′
+
++ + = (63)
где
(1,R
i
ai∈=)n
.
Опр. 9. Уравнение
(
)
(
)
1
11
... 0,
nn
nn
aaa
−
−
λ
+λ ++ λ+ = (64)
полученное заменой производных
(
)
(0,
k
yk n= ) искомой функ-
ции степенями
k
λ
, называется характеристическим уравнением
для уравнения (63).
Каждому действительному корню
λ
уравнения (64) крат-
ности соответствуют линейно независимых решений
уравнения (63)
r r
2
, , ,..., ,
1
x
xxr
exexe xe
x
λ
λλ −λ
(65)
а каждой паре комплексных корней
1,2
i
λ
αβ
=
±
кратности
соответствуют пар линейно независимых решений:
s
s
1
1
cos , cos ,..., cos ,
sin , sin ,..., sin .
xxsx
xxsx
exxexxe
exxexxe
−
−
⋅
⋅
αα α
αα α
x
x
β
ββ
β
ββ
(66)
Запишем общее решение для случая
2n
=
. Рассмотрим
уравнение
0,ypyqy
′
′′
+
+= (67)
где
p
,
q
.
R∈
Характеристическое уравнение для (67) имеет вид
2
0.pq
λ
+λ+= (68)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- …
- следующая ›
- последняя »
