Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

207
Если квадратное уравнение (68) имеет два различных дей-
ствительных корня
1
λ
и
2
λ
, то согласно (65) имеем два линейно
независимых решения уравнения (67)
12
12
,.
x
x
ye ye
λλ
==
Общее решение имеет вид
1
12
,
2
x
x
y
Ce Ce
λλ
=+ (69)
где – произвольные постоянные.
12
,CC
Если квадратное уравнение (68) имеет комплексные корни
12
,ii=+ =−
αβλα
(0)
β
β
λ
≠
, тогда согласно (66) имеем два
линейно независимых решения уравнения (67)
12
cos , sin .
xx
ye xye x=⋅ =⋅
αα
β
Общее решение имеет вид
(
)
12 12
cos sin cos sin .
xxx
y
Ce xCe x e C xC x=+= +
ααα
ββ ββ
(70)
Если квадратное уравнение (68) имеет два равных
действительных корня
12
,
λ
=λ =λ , то согласно (69) имеем два
линейно независимых решения уравнения (67).
12
,.
x
x
y
eyxe
λ
λ
==
Общее решение уравнения имеет вид
(
)
12 12
.
xxx
y
Ce C xe e C C x
λλλ
=+ = + (71)
Примеры
Найти общее решение уравнений:
1. ;
32yyy
′′ ′
++=
0
0
.
0
2. ;
25yyy
′′ ′
++=
3.
33 0yyyy
′′′ ′′ ′
−+−=
◄ 1. Для уравнения
32yyy
′
′′
+
+=
характеристическое
уравнение имеет вид:
2
320
λ
+λ+ = , корни которого равны
Запишем фундаментальную систему решений
12
1, 2.λ=− λ=−
2
12
,.
x
x
y
eye
−
==
−
Сл-но, общее решение имеет вид
2
12
.
x
x
yCe Ce
−−
=+

Страницы