Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

209
Согласно (65), (66) фундаментальная система решений
будет иметь вид
123
1, cos , sin ,
ox
y
ey xy== = =x сл-но, общее
решение ЛОДУ имеет вид:
12 3
cos sin .
y
CC xC x
=
++
Для нахождения частного решения неоднородного
уравнения воспользуемся методом вариации произвольных
постоянных. Ищем частное решение в виде
Для определения
составим систему
12 3
() () ()cos ()sin.ux C x C x x C x x=+ +
%
123
(), (), ()CxCxCx
(
)
(
)
() ( )
() ( )
12 3
23
23
cos sin 0, *
()sin cos 0, **
( )cos sin tg . ***
Cx C xC x
Cx xCx x
Cx xCx x x
′′ ′
++=
⎧
⎪
′′
−+ =
⎨
⎪
′′
−− =
⎩
Умножив обе части уравнения (**) на
sin
x
, (***) – на
cos
x
и сложив их, получим
22
() sin () sin.Cx x Cx x
′
′
−
=⇒ =−
Подставив
2
() sinCx x
=
− в уравнение (**), получим
2
2
33
sin
sin ( )cos 0 ( ) .
cos
x
xCx x Cx
x
′′
+=⇒=−
Сложив уравнения (*) и (***) будем иметь
1
() tg.Cx x
′
=
Интегрирование дает выражения для :
123
(), (), ()CxCxCx
()
1
sin cos
tg ln cos
cos sin
xdx
Cx xdx dx x
xx
= = =− =−
∫∫ ∫
,
,
()
2
sin cosCx xdx x=− =
∫
()
22
3
sin 1 cos
cos cos
xx
C x dx dx
xx
−
=− =− =
∫∫
cos ln tg sin .
cos 4 2
dx x
x
dx x
x
π
=− + =− + +
∫∫
Итак,

Страницы