Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

208
2. Для уравнения
25yyy0
′
′′
+
+= характеристическое
уравнение имеет вид
2
250
λ
+λ+ =
, его корни
1,2
12.i
λ
=− ±
Сл-но, функции
12
cos 2 , sin 2
xx
y
exye
−−
==x составляют фун-
даментальную систему решений, а общее решение имеет вид
()
12
cos 2 sin 2 .
x
y
eC xC x
−
=+
3. Уравнение
32
3310
λ
−λ+λ−= является характеристи-
ческим для
33yyyy
′′′ ′′ ′
0,
−
+−=
его решением является 1
=
кратности Поэтому фундаментальная система решений
имеет вид
3.r =
2
12 3
,, .
x
x
yey xey xe== =
x
Сл-но, общее решение
исходного уравнения имеет вид:
()
2
12 3
.
x
y
CCxCxe=++ ►
3.4. ЛНДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэф-
фициентами
(
)
()
(), 0,ypyqyfxfx
′′ ′
++= ≠
(60)
где
,
p
q R∈ .
Общее решение этого уравнения записывается в виде
(
)
(
)()
y
xyxyx=+
%
,
где
()
y
x – общее решение соответствующего ЛОДУ (56),
()
y
x
%
– любое частное решение уравнения (60). Общее решение
ЛОДУ имеет вид:
(
)
11 2 2
y
xCyCy=+, для отыскания
(
)
y
x
%
в
общем случае используется метод Лагранжа вариации
произвольных постоянных.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального урав-
нения
tg .
y
yx
′′′ ′
+=
◄ 1. Решим ЛОДУ
0yy
′
′′ ′
+
= , соотвествующее данному
ЛНДУ. Для этого запишем характеристическое уравнение
32
010
123
0, , .ii()λ+λ= ⇒λλ+ = ⇒
λ
=λ=λ=−

Страницы