Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

163
( ) ( ) ( )
( )
.
443
2
43
2/12
323
n
n
n
c
n
n
n
n
=
+
+
=
+
⋅+
≤
Для любого
[ ]
4/1;4/1−∈x
получили, что
( )
nn
cxu ≤
.
Докажем, что ряд (2)
( )
( )
∑ ∑
+
+
=
∞+
=
∞+
=1 1
3
443
2
n n
n
n
n
n
c
сходится. Для
этого применим признак Даламбера.
Т.к.
( )
( )
( )
( )
=
+
+
⋅
+
+
==
+
+∞→
+
+∞→
31
3
1
2
443
473
3
limlim
n
n
n
n
c
c
n
n
n
n
n
n
1
4
1
73
43
2
3
lim
4
1
3
<=
+
+
+
+
=
+∞→
n
n
n
n
n
, то ряд (2) сходится.
Из сходимости мажорирующего ряда (2) по признаку Вей-
ерштрасса следует равномерная сходимость функционального
ряда (1) на отрезке
[ ]
4/1;4/1−
.►
1.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
Теорема 4 (о непрерывности суммы ФР). Если ФР
( ) ( )
0
1
, XxxSxu
n
n
∈
∑
+∞
=
и
( )
xu
n
непрерывны на множе-
стве
0
X
, то сумма ряда
( )
xS
непрерывна на множестве
0
X
.
Теорема 5 (о почленном интегрировании ФР). Пусть
( ) ( )
[ ]
∑
∈
+∞
=1
;,
n
n
baxxSxu
,
N∈∀n
функции
( )
xu
n
непрерывны
на отрезке
[ ]
ba;
. Тогда для
[ ]
ba;∈∀
α
( ) ( )
[ ]
∫
∈
∑
∫
+∞
=
x
n
x
n
baxdttSdttu
αα
;,
1
.
Теорема 6 (о почленном дифференцировании ФР). Пусть
ФР (1)
( ) ( )
[ ]
baxxSxu
n
n
;,
1
∈→
∑
+∞
=
,
N∈∀n
функции
( )
xu
n
′
непре-

Страницы