Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

162
( ) ( )
( )
εε
<−→>∈∀∈∀∃>∀
+
xSxSnnpnXxn
npn000
,0 N
.
Данная теорема следует из определения равномерно сходя-
щегося ряда и теоремы 1.
Теорема 3 (признак Вейерштрасса
*
( )
∑
+∞
=
1n
n
xu
). Пусть задан ФР
(1) и ЧР (2)
∑
+∞
=1n
n
c
с положительными членами, причем
( )
( )
nn
cxunXx ≤∈∀∈∀ N
0
. Тогда если ряд (2) сходится, то
ряд (1) сходится равномерно на множестве
0
X
.
Замечание. 1. Т.к. ФР сходится абсолютно в точке
0
x
, если
ряд, составленный из модулей его членов, сходится в точке
0
x
,
то признак Вейерштрасса является и признаком абсолютной
сходимости ФР на множестве
0
X
.
2. Ряд (2) называется мажорирующим рядом для ряда (1)
на множестве
0
X
.
Пример 7. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
равномерную сходимость функционального ряда
(1)
( ) ( )
∑
++
+
∞+
=1
2
22
43
22
n
n
nx
xn
на отрезке
.
◄ Оценим
n
-й член ряда (1) при условии, что
[ ]
4/1;4/1−∈x
:
( )
( ) ( )
[ ]
≤
≤−∈
≤
++
+
=
числительувеличим
4
1
то,4/1;4/1т.к.
43
22
2
23
xx
nx
xn
xu
n
n
( )
≤≥≤
++
⋅+
≤ ьзнаменателуменьшим0
43
4
1
22
2
2
2
3
x
nx
n
n
*
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс – немецкий математик (1815 –
1897).

Страницы