Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

161
Пример 6. Исследовать ФП
n
nxsin
на равномерную схо-
димость.
◄ Пусть
( ){ }
=
n
nx
xu
n
sin
. Проверим, является ли сходи-
мость
0
sin
→
n
nx
,
R∈x
равномерной. Выберем произволь-
ное
0>
ε
и решим неравенство
( ) ( )
ε
<− xfxu
n
.
В данном случае
ε
<≤
nn
nx 1sin
. Отсюда
ε
1
>n
и
( )
ε
ε
00
1
;1max nn =
=
. Значит, по определению равномер-
ной сходимости
. ►
Опр. 7. ФР
( )
∑
+∞
=1n
n
xu
называется равномерно сходящимся к
функции
( )
xS
на множестве
0
X
, если
( ){ } ( )
0
, XxxSxS
n
∈
.
При этом используют запись
( ) ( )
0
1
, XxxSxu
n
n
∈
∑
+∞
=
.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие равномер-
ной сходимости ФП). Для того чтобы ФП
( ){ } ( )
0
, Xxxfxu
n
∈
, необходимо и достаточно, чтобы
( ) ( )
( )
.,0
000
εε
<−→>∈∀∈∀∃>∀
+
xuxunnpnXxn
npn
N
Теорема 2 (необходимое и достаточное условие равномер-
ной сходимости ФР). Для того чтобы ФР
( )
∑
+∞
=1n
n
xu
равномерно
сходился на множестве
0
X
, необходимо и достаточно, чтобы

Страницы