Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

160
1.2. Равномерная сходимость и ее признаки
Опр. 6. ФП
( ){ }
xu
n
называется равномерно сходящейся на
множестве
0
X
к функции
( )
xf
, если
( ) ( ) ( )
( )
εεε
<−→>∈∀∈∀∃>∀ xfxunnXxnn
n000
0 N
.
Сравните это определение с определением поточечной схо-
димости: ФП
( ){ }
xu
n
называется сходящейся на множест-
ве
0
X
к функции
( )
xf
, если
( ) ( ) ( )
( )
εεε
<−→>∈∀∃∈∀>∀ xfxunnnxnXx
n000
,0 N
.
Запись
( ){ } ( )
0
, Xxxfxu
n
∈
означает, что ФП
( ){ }
xu
n
сходится равномерно к функции
( )
xf
на множестве
0
X
.
Запись
( ){ } ( )
0
, Xxxfxu
n
∈→
означает, что ФП
( ){ }
xu
n
сходится поточечно к функции
( )
xf
на множестве
0
X
.
Пример 5. Исследовать ФП
{ }
n
x
на равномерную сходи-
мость.
◄ Пусть
. Мы получили (см. пример 1),
что
{ }
( )
( )
=
−∈
=→
.1,1
,
1;1,0
x
x
xfx
n
Проверим, является ли сходи-
мость
{ }
0→
n
x
,
( )
1;1−∈x
, равномерной. Выберем произволь-
ное
0>
ε
и решим неравенство
( ) ( )
ε
<− xfxu
n
. В нашем
случае
( ) ( )
ε
<=−
n
n
xxfxu
. Отсюда
ε
lnln <xn
.
Т.к.
( )
1;1−∈x
, то
0ln <x
и
x
n
ln
ln
ε
>
. Поэтому
=
x
n
ln
ln
;1max
0
ε
, т.е.
( )
xnn ;
00
ε
=
. Значит, для данной ФП
сходимость равномерной не является. ►

Страницы