Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

164
рывны на
[ ]
ba;
и (2)
( ) ( )
[ ]
baxxfxu
n
n
,,
1
∈
∑
′
∞
=
. Тогда
[ ]
( ) ( )
xfxSbax =
′
∈∀ ;
.
§ 2. Степенные ряды и их свойства
2.1. Степенной ряд и его интервал сходимости
Опр. 1. ФР вида (1)
n
n
n
xa
∑
+∞
=0
, где
N∈∀n
R∈
n
a
, назы-
вается степенным рядом (СР).
Замечание 1. Степенным также называется ФР
(2)
( )
n
n
n
xxa
0
0
−
∑
+∞
=
, т.к. с помощью замены переменных
0
xxy −=
его можно привести к виду (1).
Областью определения СР (1) является множество всех
действительных чисел. Определим, где этот ряд сходится.
Теорема (Абеля
*
). Если ряд (1) сходится в точке
0
1
≠x
, то он сходится абсолютно для
x∀
, удовлетворяющего
условию
1
x
x <
; если ряд (1) расходится в точке
2
x
, то он
расходится для
x∀
, удовлетворяющего условию
2
xx >
.
Рассмотрим некоторый СР (1)
. Возможны случаи.
1. СР (1) сходится при
R∈x
(например, СР
∑
∞+
=0
!
n
n
n
x
).
2. СР (1) сходится только при
0=x
(например, ряд
).
3. Существуют такие
1
x
и
2
x
, что ряд (1) сходится в точке
*
Абель Нильс Хенрик – норвежский математик (1802 – 1829).

Страницы