Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

167
3. Для ряда (3)
( )
n
n
nx
∑
∞+
=0
имеем
n
n
na =
, поэтому применим
формулу (2) и получим:
0
1
lim
1
lim
1
lim ====
+∞→+∞→+∞→
n
n
a
R
n
n
n
n
n
n
n
.
Т.к.
0=R
, то ряд (3) сходится только при
0=x
. ►
Замечание 2. Для СР
n
n
n
xxa )(
0
0
−
∑
+∞
=
интервал сходимости
имеет вид
( )
RxRx +−
00
;
, где
R
– радиус сходимости, най-
денный по формулам (1) или (2).
Пример 2. Найти интервал сходимости СР
.
◄ Для данного ряда
2
0
=x
,
15
3
+
=
n
a
n
n
. Найдем радиус
сходимости по формуле (1):
( )
( )
.
3
1
153
65
lim
115
3
:
15
3
limlim
1
1
=
+
+
=
+++
==
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
n
n
nna
a
R
n
nn
n
n
n
n
Т.о., интервал сходимости данного ряда –
+−
3
1
2;
3
1
2
или
3
1
2;
3
2
1
.►
2.2. Область сходимости степенного ряда
При исследовании СР (1) на сходимость получено, что он
сходится на интервале
( )
RR;−
и расходится на множестве
( ) ( )
∞+∪∞− ;; RR
. Остаются не исследованными две точки
Rx =
1
и
Rx −=
2
. Поэтому, чтобы найти область сходимости
СР, эти точки рассматриваются отдельно.
Пример 3. Найти область сходимости СР (1)
( )
∑
+
∞+
=1
5
3
n
n
n
n
x
.

Страницы