Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

30
( )
yxfz ,=
в области
D
.
Рассмотрим предел интегральной суммы
( )
∑
⋅
=
n
i
iii
syxf
1
,
∆
при
∞→n
таким образом, что
0max
1
→=
≤≤
i
ni
dd
, где
i
d
– диа-
метр подобласти
i
D
,
ni ,1=
. Если этот предел существует (ко-
нечный) и не зависит ни от способа разбиения области
D
на
части, ни от выбора точек
( )
iii
yxM ,
в них, тогда он будет на-
зываться двойным интегралом от функции
( )
yxfz ,=
по об-
ласти
D
.
Опр. 2. Двойным интегралом (ДИ) от функции
( )
yxfz ,=
по области
D
называется предел интегральной суммы
( )
∑
⋅
=
n
i
iii
syxf
1
,
∆
при
∞→n
(
). Обозначается:
( ) ( )
∑
⋅=
∫∫
=
→
∞→
n
i
iii
d
n
D
syxfdydxyxf
1
0
,lim,
∆
.
В этом случае функция
( )
yxfz ,=
называется интегрируемой в
области
D
, сама область
D
называется областью интегриро-
вания, а
dydx
(или
ds
) – элемент площади.
Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция
( )
yxfz ,=
непрерывна в замкнутой области
D
,
то она интегрируема в этой области.
1.2. Свойства ДИ
ДИ обладают такими же свойствами, как и определенные
интегралы (однородность, аддитивность, формулы среднего
значения и т. д.). Перечислим некоторые из них.
1.
( ) ( )
∫∫
⋅=
∫∫
⋅
DD
dydxyxfCdydxyxfC ,,
, где
constC =
.
2.
( ) ( )( ) ( ) ( )
∫∫
±
∫∫
=
∫∫
±
DDD
dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf ,,,,
.

Страницы