Теория упругости и пластичности. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Предложенная для решения плоской задачи теории упругости функция
()
φ xy, должна удовлетворять
бигармоническому уравнению
02
4
4
22
4
4
4
=
∂
φ∂
+
∂∂
φ∂
+
∂
φ∂
yyxx
. (1.1)
Выражения для напряжений
σ
x
, σ
y
и τ
xy
решаемой задачи получают по следующим формулам:
σ
∂φ
∂
x
y
=
2
2
; σ
∂φ
∂
y
x
=
2
2
; τ
∂φ
∂∂
xy
xy
=−
2
. (1.2)
Для определения внешних сил (нормальных и касательных), приложенных ко всем четырем граням полосы-балки используют
условия на поверхности тела (условия на контуре тела или статические граничные условия):
(
)()
() ()
px y
px y
xx xy
yyx y
ν
ν
σντ ν
τνσν
=+
=+
cos , cos ,
cos , cos ,
;
.
(1.3)
Здесь –
p
xν
, p
yν
– проекции на оси Ox и Oy внешних сил, действующих на гранях полосы-балки; ν – нормаль к грани;
()
cos ,x ν ,
()
cos ,y ν – направляющие косинусы нормали
ν
.
Для проверки найденных внешних сил можно использовать условия равновесия полосы-балки под их действием:
X =
∑
0; Y =
∑
0;
∑
= 0
0
M .
Пример 1. Задана полоса-балка (рис. 1.1). Функция напряжений:
(
)
φ xy axy bxy cx, =++
33 2
, где a = 2, b = 1, c = 2.
Размеры: l = 2 м; h = 1 м; x
c
= 1 м.
Р е ш е н и е.
1 Проверка пригодности
()
φ xy, :
∂φ
∂x
ay bx y cx=+ +
32
32;
∂φ
∂
2
2
62
x
bxy c=+;
∂φ
∂
3
3
6
x
by= ;
∂φ
∂
4
4
0
x
= ;
∂φ
∂y
ay x bx=+3
23
;
∂φ
∂
2
2
6
y
axy= ;
∂φ
∂
3
3
6
y
ax= ;
∂φ
∂
4
4
0
y
= ;
∂φ
∂∂
2
22
33
xy
ay bx=+;
∂φ
∂∂
3
2
6
xy
bx= ;
∂φ
∂∂
4
22
0
xy
= .
Подставляем найденные производные в уравнение (1.1):
02000
+
⋅
+
=
. Следовательно, заданное выражение
тождественно удовлетворяет бигармоническому уравнению плоской задачи теории упругости и может быть принято для
решения этой задачи.
2
Выражения для напряжений:
σ
∂φ
∂
x
y
axy
==
2
2
6;
σ
∂φ
∂
y
x
bxy c== +
2
2
62;
τ
∂φ
∂∂
xy
xy
ay bx=− =− −
2
22
33.
3 Построение эпюр напряжений в сечении xx
=
=
c
1 м. При
x = 1
имеем: ;126 yay
x
=
=
σ
;46 +=σ y
y
τ
xy
y=− −63
2
.
По указанным выражениям для напряжений, изменяя y от –h/2 до +h/2, строим их эпюры
(рис. 1.2).
4 Определяем внешние силы (нормальные и касательные), приложенные к граням балки (рис. 1.3).
Верхняя грань:
yh
=
=
/,205 м;
σ
x
x= 6;
σ
y
x
=
+
34;
τ
xy
x=− −15 3
2
,;
()
)
;0,cos,cos
=
=ν= yxxl
(
)
(
)
my yy===cos , cos , ;ν 1
px
x
xxyxy
ν
στ τ
в
=⋅+⋅= =−−01 153
2
,;
px
yxy y yν
τσσ
в
=⋅+⋅==+01 34.
Для сил, нормальных
p
yν
в
и касательных p
xν
в
к этой грани, строим их эпюры, изменяя x от 0 до 2=l м.
Нижняя грань:
yh
=
−
=
−
/,205 м;
σ
x
x=−6;
σ
y
x
=
−
+
34; τ
xy
x=− −15 3
2
,;
Рис. 1.2
x
y
O
x
c
=1
0
σ
x
6
6
h=1
τ
xy
4,5
4,5
3
σ
y
7
1
4

Страницы