Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
1.
(
)
rr
=
-
-
1
1
;
2.
(
)
1
2
1
1
1
12
--
-
=
rrrr
o
o
.
Пример 1. Перечислите элементы множеств
A
B
B
A
´
´
,
:
1)
{
}
{
}
5,4,3,2,1
=
=
B
A
;
2)
{
}
4,3,2,1,
=
=
B
A
.
Решение. По определению
(
)
{
}
B
A
B
A
Î
Î
=
´
baba ,:, .
Порядок построения данного множества будет следующий: вначале
перечислим все пары, первый элемент которых равен первому элементу
множества
A
, а второй элемент берется из множества
B
в том порядке, в
котором они записаны в множестве
B
, затем аналогично берем второй
элемент из
A
и составляем пары со всеми элементами из
B
и т.д.
Аналогичен и метод построения множества
(
)
{
}
A
B
A
B
Î
Î
=
´
abab ,:, .
1)
(
)
(
)
(
)
( )( )( )
þ
ý
ü
î
í
ì
=´
5,2,4,2,3,2
,5,1,4,1,3,1
BA
,
(
)
(
)
( )( )
( )( )
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=´
2,5,1,5
,2,4,1,4
,2,3,1,3
AB
.
3)
Æ
=
´
=
´
A
B
B
A
, поскольку множество
A
пусто и мы не можем
составить ни одной пары.
Пример 2. Пусть
{
}
4,3
=
A
. Перечислите элементы множеств
4
A
.
Решение. По определению
(
)
{
}
AAAAA
ÎÎÎÎ=
43214321
4
,,,:,,, aaaaaaaa =
=
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
4,4,4,4,3,4,4,4,4,3,4,4,3,3,4,4
,4,4,3,4,3,4,3,4,4,3,3,4,3,3,3,4
,4,4,4,3,3,4,4,3,4,3,4,3,3,3,4,3
,4,4,3,3,3,4,3,3,4,3,3,3,3,3,3,3
.
Пример 3. Пусть на плоскости задана декартова система координат.
Изобразите на плоскости следующее множество:
[
]
[
]
dcba ,,
´
=
M
,
где
d
c
b
a
R
d
c
b
a
<
<
Î
,
,
,
,
.
Решение. При построении прямого произведения
[
]
[
]
dcba ,,
´
=
M
каждой точке
x
из отрезка
[
]
ba, ставятся пары
(
)
[
]
dcyyx ,,,
Î
, поэтому в
результате получим множество 
      Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
        � �
      1. � �1
                �1
                     ��;
      2. � � 2 � � 1 �
                         �1
                              � � 1�1 � � 2�1 .

      Пример 1. Перечислите элементы множеств � � � , � � � :
      1) � � �1,2�, � � �3,4,5� ;
      2) � � �, � � �1,2,3,4� .
      Решение. По определению
                                  � � � � ��a, b � : a � � , b � � � .
      Порядок построения данного множества будет следующий: вначале
перечислим все пары, первый элемент которых равен первому элементу
множества � , а второй элемент берется из множества � в том порядке, в
котором они записаны в множестве � , затем аналогично берем второй
элемент из � и составляем пары со всеми элементами из � и т.д.
      Аналогичен и метод построения множества
                                  � � � � ��b, a � : b � � , a � �� .
                                                        ��3,1�, �3,2 �, �
                   ��1,3�, �1,4 �, �1,5�, �             �               �
      1) � � � � �                        � , � � � � ��4,1�, �4,2 �,� .
                   ��2,3�, �2,4�, �2,5��                ��5,1�, �5,2 � �
                                                        �               �
      3) � � � � � � � � � , поскольку множество � пусто и мы не можем
составить ни одной пары.

      Пример 2. Пусть � � �3,4�. Перечислите элементы множеств � 4 .
      Решение. По определению
              � 4 � ��a1 , a 2 , a3 , a 4 � : a1 � � , a 2 � � , a3 � � , a 4 � ��=
                       ��3,3,3,3�, �3,3,3,4 �, �3,3,4,3�, �3,3,4,4�, �
                       ��3,4,3,3�, �3,4,3,4�, �3,4,4,3�, �3,4,4,4�,�
                       �                                                          �
                     =�                                                           �.
                       � � 4,3  ,3,3 �, �4 ,3 ,3, 4 �, �4,3, 4,3�, � 4,3, 4, 4 �, �
                       ���4,4,3,3�, �4,4,3,4 �, �4,4,4,3�, �4,4,4,4���

     Пример 3. Пусть на плоскости задана декартова система координат.
Изобразите на плоскости следующее множество: � � �a, b� � �c, d � ,
     где a, b, c, d � R a � b, c � d .
     Решение. При построении прямого произведения � � �a, b� � �c, d �
каждой точке x из отрезка �a, b� ставятся пары � x, y �, y � �c, d � , поэтому в
результате получим множество


                                                  13

Страницы