Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 14 стр.

UptoLike

Составители: 

14
Пример 4. Докажите следующее равенство:
(
)
(
)
(
)
(
)
M
B
K
A
M
K
B
A
´
Ç
´
=
Ç
´
Ç
.
Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами мно-
жеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Ç
Î
Ç
Î
Ç
´
Ç
Î
M
K
B
A
M
K
B
A
yxyx ,,
Û
Î
Î
Î
Î
Û
Î
Î
Î
Î
Û
M
B
K
A
M
K
B
A
y
x
y
x
y
y
x
x
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M
B
K
A
M
B
K
A
´
Ç
´
Î
´
Î
´
Î
yxyxyx ,,,, .
Пример 5. Докажите, что для любых непустых множеств
K
B
A
,
,
из
равенства
(
)
(
)
K
K
A
B
B
A
´
=
´
È
´
следует, что
.
A=B=K
Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства
K
A
=
и
K
B
=
.
Для произвольных
A
Î
x
и
B
Î
y
(
)
(
)
K
B
K
A
K
K
K
K
B
A
Í
Í
Þ
Î
Î
Þ
´
Î
Þ
´
Î
,,,, yxyxyx .
С другой стороны, для произвольного
K
Î
x
(
)
(
)
B
A
K
K
´
Î
Þ
´
Î
xxxx ,, или
(
)
Þ
´
Î
A
B
xx,
A
Î
Þ
x
и
A
K
B
Í
Þ
Î
x
и
B
K
Í
.
Таким образом,
K
B
A
=
=
.
Пример 6. На множестве
{
}
15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5
=
A
задано би-
нарное отношение
(
)
{
}
yнаделитсяxyx :,
=
r
. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
Решение. Расположим на плоскости точки множества
A
. Точки
A
Î
y
x
,
, для которых пара
(
)
r
Î
yx, , соединим стрелкой, направленной от
a
b
d
c
x
y
M