Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Пример 4. Докажите следующее равенство:
(
)
(
)
(
)
(
)
M
B
K
A
M
K
B
A
´
Ç
´
=
Ç
´
Ç
.
Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами мно-
жеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Ç
Î
Ç
Î
Ç
´
Ç
Î
M
K
B
A
M
K
B
A
yxyx ,,
Û
Î
Î
Î
Î
Û
Î
Î
Î
Î
Û
M
B
K
A
M
K
B
A
y
x
y
x
y
y
x
x
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M
B
K
A
M
B
K
A
´
Ç
´
Î
´
Î
´
Î
yxyxyx ,,,, .
Пример 5. Докажите, что для любых непустых множеств
K
B
A
,
,
из
равенства
(
)
(
)
K
K
A
B
B
A
´
=
´
È
´
следует, что
.
A=B=K
Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства
K
A
=
и
K
B
=
.
Для произвольных
A
Î
x
и
B
Î
y
(
)
(
)
K
B
K
A
K
K
K
K
B
A
Í
Í
Þ
Î
Î
Þ
´
Î
Þ
´
Î
,,,, yxyxyx .
С другой стороны, для произвольного
K
Î
x
(
)
(
)
B
A
K
K
´
Î
Þ
´
Î
xxxx ,, или
(
)
Þ
´
Î
A
B
xx,
A
Î
Þ
x
и
A
K
B
Í
Þ
Î
x
и
B
K
Í
.
Таким образом,
K
B
A
=
=
.
Пример 6. На множестве
{
}
15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5
=
A
задано би-
нарное отношение
(
)
{
}
yнаделитсяxyx :,
=
r
. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
Решение. Расположим на плоскости точки множества
A
. Точки
A
Î
y
x
,
, для которых пара
(
)
r
Î
yx, , соединим стрелкой, направленной от
a
b
d
c
x
y
M 
                                     y




                                     c

                                              b
                           a       M                                   x

                                     d



     Пример 4. Докажите следующее равенство:
                         �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � .
     Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами мно-
жеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
      � x, y � � �� � � � � �� � � � � x � �� � � �, y � �� � � � �
      � x � �, x � � , y � � , y � � � x � �, y � � , x � � , y � � �
      � � x, y � � � � � , � x, y � � � � � � � x, y � � �� � � � � �� � � � .

     Пример 5. Докажите, что для любых непустых множеств � , � , � из
равенства �� � � � � �� � � � � � � � следует, что � � � � � .
     Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства � � � и � � � .
     Для произвольных x � � и y � �
      � x, y � � � � � � � x, y � � � � � � x � � , y � � � � � � , � � � .
     С другой стороны, для произвольного x � �
      �x, x � � � � � � � x, x � � � � � или � x, x � � � � � � � x � � и
x�� � � � � и � � � .
     Таким образом, � � � � � .

       Пример 6. На множестве � � �5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15� задано би-
нарное отношение � � �� x, y � : x делится на y� . Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
       Решение. Расположим на плоскости точки множества � . Точки
x, y � � , для которых пара � x, y � � � , соединим стрелкой, направленной от


                                     14

Страницы