Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 16 стр.

пара �1,3� � � , а пара �3,1� � � ; не является антисимметричным, поскольку,
например, пары �1,2� и �2,1� принадлежат � , но 1 � 2 ; не является транзи-
тивным, поскольку, например �3,2 � � � , �2,1� � � , а �3,1� � � .
       2) Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой
точки x � R разность x � x � 0 � � , т.е. � x, x � � R ; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары � x, y � отношению � означает
x � y � k � � , но тогда y � x � �k � � , т.е. пара � y, x � � � ; не является ан-
тисиммеричным, поскольку, например, пары �1.2,3.2 � � � и �3.2,1.2 � � � , но
3.2 � 1.2 ; является транзитивным, поскольку для любых x, y, z � R принад-
лежность пар � x, y � и � y, z � отношению � означает x � y � k � � и
 y � z � n � � , но тогда x � z � k � n � � , т.е. � x, z � � � .
       3) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех
пар � x, x �, x � � только пара �0,0 � � � , ведь для всех остальных x � � не
выполнено равенство 2 x � 3x ; не является симметричным, поскольку, на-
пример, пара �3,2 � � � ( 2 � 3 � 3 � 2 ), а пара �2,3� � � ( 2 � 2 � 3 � 3 ); является
антисимметричным, поскольку для любых пар � x, y � � � , � y, x � � � одно-
временно выполняются равенства 2 x � 3 y и 2 y � 3x , т.е. 9 x � 4 x и
4 y � 9 y , но это может быть только в том случае, если x � y � 0 ; не являет-
ся транзитивным, поскольку, например, пара �9,6 � � � ( 2 � 9 � 3 � 6 ), пара
�6,4� � � ( 2 � 6 � 3 � 4 ), но пара �9,4� � � ( 2 � 9 � 3 � 4 ).
       4) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для
� � � �� � пересечение � � � � � , т.е. ��, � � � � ; является симметрич-
ным, поскольку принадлежность любой пары � x, y � отношению � означа-
ет x � y � � , но тогда y � x � � , т.е. пара � y, x � � � ; не является транзи-
тивным, поскольку, например, пара ��1,2�, �2,3�� � � ( �1,2� � �2,3� � �2� � � )
и пара ��2,3�, �3,6,7�� � � ( �2,3� � �3,6,7� � �3� � � ), но пара ��1,2�, �3,6,7�� � � ,
так как �1,2� � �3,6,7� � � .

     Пример 9. Пусть на множестве R заданы следующие бинарные от-
ношения:
                 �                  �
        �1 � � x, y � : x � y 2 ; � 2 � �� x, y � : x � y � 2�; �3 � �� x, y � : x � y � ��.
     Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные
композиции этих бинарных отношений.
     Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
                                            �
     �1�1 � �� x, y � : � y , x � � �1 � � � x, y � : y � x 2 ;�
       � 2�1 � �� x, y � : � y , x � � � 2 � � �� x, y � : y � x � 2� � � 2 ;
       � 3�1 � �� x, y � : � y, x � � � 3 � � �� x, y � : y � x � � � � � 3 .

                                                    16