Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

16
пара
(
)
r
Î
3,1 , а пара
(
)
r
Ï
1,3 ; не является антисимметричным, поскольку,
например, пары
(
)
2,1 и
(
)
1,2 принадлежат
r
, но
2
1
¹
; не является транзи-
тивным, поскольку, например
(
)
(
)
r
r
Î
Î
1,2,2,3 , а
(
)
r
Ï
1,3 .
2) Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой
точки
R
x
Î
разность
Z
Î
=
-
x
x
, т.е.
(
)
Rxx
Î
, ; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары
(
)
yx, отношению
r
означает
Z
Î
=
-
k
y
x
, но тогда
Z
Î
-
=
-
k
x
y
, т.е. пара
(
)
r
Î
xy, ; не является ан-
тисиммеричным, поскольку, например, пары
(
)
r
Î
2.3,2.1 и
(
)
r
Î
2.1,2.3 , но
.
.
¹
; является транзитивным, поскольку для любых
R
z
y
x
Î
,
,
принад-
лежность пар
(
)
yx, и
(
)
zy, отношению
r
означает
Z
Î
=
-
k
y
x
и
Z
Î
=
-
z
y
, но тогда
Z
Î
+
=
-
k
z
x
, т.е.
(
)
r
Î
zx, .
3) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех
пар
(
)
Z
Î
xxx ,, только пара
(
)
r
Î
0,0 , ведь для всех остальных
Z
Î
x
не
выполнено равенство
x
x
=
; не является симметричным, поскольку, на-
пример, пара
(
)
r
Î
2,3 (
×
=
×
), а пара
(
)
r
Ï
3,2 (
×
¹
×
); является
антисимметричным, поскольку для любых пар
(
)
(
)
r
r
Î
Î
xyyx ,,, одно-
временно выполняются равенства
y
x
=
и
x
y
=
, т.е.
x
x
=
и
y
y
=
, но это может быть только в том случае, если
=
=
y
x
; не являет-
ся транзитивным, поскольку, например, пара
(
)
r
Î
6,9 (
×
=
×
), пара
(
)
r
Î
4,6 (
×
=
×
), но пара
(
)
r
Ï
4,9 (
×
¹
×
).
4) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для
(
)
Z
R
Î
Æ
пересечение
Æ
=
Æ
Ç
Æ
, т.е.
(
)
r
Ï
Æ
Æ
, ; является симметрич-
ным, поскольку принадлежность любой пары
(
)
yx, отношению
r
означа-
ет
Æ
¹
Ç
y
x
, но тогда
Æ
¹
Ç
x
y
, т.е. пара
(
)
r
Î
xy, ; не является транзи-
тивным, поскольку, например, пара
{
}
{
}
(
)
r
Î
3,2,2,1 (
{
}
{
}
{
}
Æ
¹
=
Ç
23,22,1 )
и пара
{
}
{
}
(
)
r
Î
7,6,3,3,2 (
{
}
{
}
{
}
Æ
¹
=
Ç
37,6,33,2 ), но пара
{
}
{
}
(
)
r
Ï
7,6,3,2,1 ,
так как
{
}
{
}
Æ
=
Ç
7,6,32,1 .
Пример 9. Пусть на множестве
R
заданы следующие бинарные от-
ношения:
(
)
{
}
;:,
2
1
yxyx ==
r
(
)
{
}
;2:,
2
£
+
=
yxyx
r
(
)
{
}
3
,:.
xyxy
r
=+ÎZ
Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные
композиции этих бинарных отношений.
Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
2
1
1
1
:,,:, xyyxxyyx ==Î=
-
rr
;
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
22
1
2
2:,,:,
rrr
=£+=Î=
-
xyyxxyyx ;
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
33
1
3
:,,:,
rrr
=Î+=Î=
-
Z
xyyxxyyx .