Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

17
В качестве примера рассмотрим некоторые композиции рассматри-
ваемых бинарных отношений:
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
$
=
1221
,,,:,
r
r
r
r
yzzxzyx
o
(
)
{
}
(
)
{
}
2:,,2:,
22
£+==£+$= yxyxyzzxzyx ;
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
$
=
2112
,,,:,
r
r
r
r
yzzxzyx
o
( )
{ }
( )
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
ê
ê
ë
é
£+-
£+
³=£+=$=
2
2
,0:,2,:,
2
yx
yx
xyxyzzxzyx
(
)
{
}
2,0:, £+-³= yxxyx ;
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
$
=
2332
,,,:,
r
r
r
r
yzzxzyx
o
(
)
{
}
=
£
+
Î
+
$
=
2,:, yzzxzyx
(
)
{
}
(
)
{
}
RRyxkkyxyzkzxzyx
´
=
£
+
-
Î
$
=
£
+
Î
=
+
$
=
2:,2,:,
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
$
=
3223
,,,:,
r
r
r
r
yzzxzyx
o
(
)
{
}
RRyzzxzyx
´
=
Î
+
£
+
$
=
,2:, .
Остальные композиции постройте самостоятельно.
Пример 10. Пусть
C
произвольное множество, обозначим симво-
лом
C
I
отношение на множестве
C
вида
(
)
{
}
(
)
{
}
C
I
C
Î
=
=
=
xxxyxyx :,:, .
Докажите, что для любого бинарного отношения
r
между элемен-
тами множеств
A
и
B
выполняются равенства:
r
r
r
r
=
=
AB
I
I
o
o
, .
Решение.
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
Î
$
´
Î
=
BB
I
B
B
A
I
yzzxzyx ,,,:,
r
r
o
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
;,:,,,:,
r
r
r
=
Î
´
Î
=
=
Î
Î
$
´
Î
=
yxyxyzzxzyx
B
A
B
B
A
(
)
(
)
(
)
{
}
=
Î
Î
Î
$
´
Î
=
r
r
yzzxzyx ,,,:,
AA
I
A
B
A
I
o
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
.,:,,,:,
r
r
r
=
Î
´
Î
=
Î
=
Î
$
´
Î
=
yxyxyzzxzyx
B
A
A
B
A
Пример 11. Пусть
c
f
j
,
,
бинарные отношения, определенные на
множестве
C
. Докажите следующие утверждения:
1) если
f
j
,
симметричные (антисимметричные) отношения, то
(
)
1
-
Ç
fj
симметричное (антисимметричное) отношение;
2)
(
)
(
)
(
)
c
f
c
j
c
f
j
o
o
o
\\
Ê
.
Решение. 1. Пусть
f
j
,
симметричные отношения, докажем, что
(
)
1
-
Ç
fj
симметричное отношение. Пусть
( ) ( ) ( )
(
)
( )
Þ
î
í
ì
Î
Î
ÞÇÎÞÇÎ
-
f
j
fjfj
xy
xy
xyyx
,
,
,,
1