Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 35 стр.

                                       69                                                                            70

                                                                                                                  ρ        ρ
     Элементы        ∆ iP     представляют собой перемещения в на-                                          ∆ P = N едT DФ N P ,                            (
                                                                                                                                                    2.12)
правлениях Хi (i = 1,2,…,n), возникающие под действием задан-                                 ρ      ρ
ных внешних сил в основной системе.                                                     где N ед ,   N P - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
     Если рассматриваются несколько вариантов нагружений,
                                    ρ   ρ                                         ничных сил и от внешней нагрузки соответственно; D Ф - диаго-
то необходимо заменить векторы X и ∆ P соответственно на                          нальная матрица, причем элемент этой матрицы, расположенный
матрицы                                                                           на пересечении i-й строки и столбца i, определяется как li/(EiAi),
           X 11       X 12      Λ     X              ∆ 1P1    ∆ 1P2   Λ     ∆   где li – длина стержня i фермы, а EiAi – его жесткость. Значок
          X                                         ∆        ∆ 2 P2   Λ     ∆   (Т) обозначает операцию транспонирования вектора.
           21        X 22       Λ     X              2 P1                              Связь между окончательными значениями продольных сил
       X =Λ           Λ         Λ              ∆P =  Λ         Λ      Λ         ρ
                                                                                N в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-
          Λ           Λ         Λ                   Λ         Λ       Λ         лий в основной системе устанавливается векторным выражением
                                                                                                         ρ ρ ρ ρ
           X n1     X n2 Λ           X              ∆ nP    ∆ nP2    Λ     ∆                         N = N ед X + N P                     (
                                                      1                                                                               2.13)
                                                                                                ρ
                                                                                        Вектор X можно выразить из уравнения (2.7)
     где k – число вариантов нагружения.                                                                          ρ       −1
                                                                                                                             ρ
     При расчете статически неопределимых ферм на действие                                                        X = − Aδ ∆ P .
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-                               Подставляя это равенство в (2.13), с учетом (2.12), оконча-
бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-                         тельно получим
венно по формулам                                                                           ρ     ρ ρ             ρ           ρ        ρ        ρ
                                                                                            N = − N ед ( N едT DФ N ед ) −1 ( N едT DФ N ед ) + N P .       (
                      N i N k li                           N i N P li                                                                                 2.14)
           δ ik = ∑              ;              ∆ iP = ∑              ;       (         Эта формула может быть использована для построения ли-
                       Ei Ai                                Ei Ai       2.11)     ний влияния усилий в статически неопределимой ферме. Для
                                                                                                ρ
                                                                                  этого вектор N P должен быть заменен соответствующей матри-
     где    Ni ,    N k - продольные усилия в стержнях основной
                                                                                  цей, столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-
системы от сил X i = 1, X k = 1; N P - продольные усилия в                        делимой основной системе при расположении единичных сил в
стержнях основной системы от внешней нагрузки. В формулах                         узлах грузового пояса фермы.
(2.11) суммирование распространяется на все стержни фермы.
      Усилия N i , N k , N P можно определить либо обычными                             2.2.1 Пример расчета фермы методом сил
                                                                                        Для статически неопределимой фермы (рис.2.3,а) опреде-
способами, либо с помощью матричных вычислений (см. п.1.2).
                     ρ                                                            лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-
       Матрицы Aδ и ∆ P с учетом формул (2.11) записываются в                     лий в стержнях 1, 8, 2, если единичный груз перемещается по ее
виде                                                                              нижнему поясу. Считать, что стержни фермы изготовлены из
                                   ρ        ρ                                     одного материала, а сечения их одинаковы.
                              Aδ = N едT DФ N ед ,