Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

87
Рис. 3.1
Подставляя значения коэффициентов α
1
и α
2
в формулу(3.1),
получим
u(x) = N
r
u
r
+N
s
u
s
(3.2)
Здесь N
r
и N
s
- функции формы линейного конечного элемента:
88
;;1
ll
xx
N
l
N
r
s
l
XX
r
s
ξξ
=
−
=−==
−
(3.3)
где ξ = x-x
r
- локальная координата точки x элемента е (см.
рис.3.1,г).
Перепишем (3.2) в матричном виде
u(x)=[N]{δ}
е
(3.4)
где [N]=[N
r
N
s
] - матричная строка функций формы;
{δ}
e
=[u
r
u
s
]
T
- вектор-столбец узловых перемещений элемента е.
В каждом элементе
е имеются свои функции перемеще-
ний, которые стыкуются в узловых точках. При этом получается
непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-
ний для всего стержня, т.е. при таком выборе функции (3.3) зна-
чения перемещений на концах смежных элементов являются
одинаковими (рис3.1,в).
Отметим, что коэффициент α
1
в (3.1) соответствует
движению элемента
е как твердого тела, так как выражение для
продольной деформации
ε
∂
∂
=
u
x
содержит только коэффициент
α
2
, т.е.
2
αε
=
−
=
l
uu
sr
Матрица жесткости элемента
В состоянии равновесия вектор узловых усилий {F}
е
={f
r
,f
s
} эле-
мента е можно выразить через вектор узловых перемещений {δ}
e
{F}
e
=[K]
e
{δ}
e
(3.5)
где [K]
e
- матрица жесткости элемента е.
В развернутом виде формула (3.5) для стержневого эле-
мента, работающего на растяжение и сжатие, имеет вид
f
f
kk
kk
u
u
r
s
rr
e
rs
e
sr
e
ss
e
r
s
=
() ()
() ()
(3.6) 
                            87                                                                      88


                                                                                 Xs −X       ξ               x − xr ξ      (3.3)
                                                                          Nr =     l
                                                                                         = 1 − ; Ns =              = ;
                                                                                              l                 l   l
                                                               где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см.
                                                               рис.3.1,г).
                                                                     Перепишем (3.2) в матричном виде
                                                                                       u(x)=[N]{δ}е                     (3.4)
                                                               где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы;
                                                               {δ}e=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е.
                                                                     В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-
                                                               ний, которые стыкуются в узловых точках. При этом получается
                                                               непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-
                                                               ний для всего стержня, т.е. при таком выборе функции (3.3) зна-
                                                               чения перемещений на концах смежных элементов являются
                                                               одинаковими (рис3.1,в).
                                                                         Отметим, что коэффициент α1 в (3.1) соответствует
                                                               движению элемента е как твердого тела, так как выражение для
                                                               продольной деформации ε = ∂u содержит только коэффициент
                                                                                                   ∂x
                                                               α2, т.е.
                                                                                                 ur − us
                                                                                           ε=            = α2
                                                                                                    l

                                                               Матрица жесткости элемента

                                                               В состоянии равновесия вектор узловых усилий {F}е={fr ,fs } эле-
                                                               мента е можно выразить через вектор узловых перемещений {δ}e
                                                                                     {F}e=[K]e{δ}e                       (3.5)
                          Рис. 3.1                             где [K]e- матрица жесткости элемента е.
                                                                         В развернутом виде формула (3.5) для стержневого эле-
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(3.1),      мента, работающего на растяжение и сжатие, имеет вид
получим                                                                           f r   k rr
                                                                                             (e)
                                                                                                    k (rse )   u r 
                     u(x) = Nrur+Nsus                  (3.2)
                                                                                  f  = k ( e)             
                                                                                                    k (sse )   u s 
                                                                                                                           (3.6)
Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента:                       s   sr

Страницы