Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 45 стр.

                                 89                                                                           90

Здесь k (rse ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s                    EA               EA 
                                                                                                 −
                                                                                                       l  = EA  1 − 1
                                                                                    l                                                          (3.8)
при условии, что в узле r смещений нет.
В дальнейшем, где это возможно, значок «(е)» будем опускать.               [ k]e =  EA              EA      l − 1 1 
      Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-                       −                    
                                                                                    l                l 
теме координат Оξ (рис.3.1,г). При этом часто используется
                                                                        Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости
принцип возможных перемещений: в состоянии равновесия
                                                                   стержневого элемента.
стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних
                                      ρ                                 Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-
сил на возможном перемещении δu равна нулю:                        мещениями его концов {δ}е=[u1,u2]т равенством
                                                          (3.7)
             1
               R δu + R δu −
                 1       2   2   ∫∫∫
                                  V
                                      δεσdv = 0                               du( ξ) d
                                                                              ε=            =
                                                                                                 ρ             ρ      (3.9)
                                                                                                     ([ N ]{u}e ) = [ B]e {u}e
Здесь V - объем элемента, {R}={R1, R2} - вектор сил, приложен-                     dξ           dξ
ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-         где [Β]е=d[N]/dξ - матрица-строка деформаций, компонентами
грузкам, σ, ε - нормальное напряжение и относительная линей-       которой являются производные от функций форм по локальным
ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента.         координатам
      Вычислим, например, коэффициент k22 матрицы жесткости                           dN dN   1 1                  (3.10)
стержня (рис.3.1,д). По определению k22=R2 при u1=0, u2=1. Поле                 [ B]    = 1                 2
                                                                                                              = −
                                                                                                         dξ   l              l 
                                                                                          dξ
                                                                                    e
перемещений точек элемента, вызванное единичным смещением
                         ξ                       Е                       Приращение потенциальной энергии деформации элемента
узла 2, равно u( ξ ) =     × 1 , а напряжения σ = × 1 . Так как    за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
                         l                       l
узел 1 закреплен, то δu1=0. Пусть δu2- возможное (кинематиче-                            [ B] δ {u} EεdV =
                                                                                                     e            e
                                                                                                                       (3.11)
ски допустимое) смещение узла 2. Тогда возможные перемеще-
ния стержня за счет δu2 ,будут δu(ξ)=(ξ/l)δu2, а соответствующие
                                                                      =   ∫∫∫ δεσdV = ∫∫∫ δ {u}T (
                                                                          V                 V            e   ∫∫∫ [ B]
                                                                                                                        T
                                                                                                                        e   E [ B] e dV ){u}e
                                                                                            ρ
                                                                                                              V
деформации δε=(1/l)δu2.
                                                                        Работа узловых сил {F} e = [δu 1 δu 2 ] на возможных
                                                                                                               T
      Из равенства (3.7) следует
                                                                                                     ρ
                                                                   вариациях перемещений в узлах δ{u} e = [δu 1 δu 2 ] равна
                                             l
                        δu E         1                                                                                T
            R 2δu2 = ∫∫∫ 2 1dV = δu2 2 ∫ EAdξ
                      V
                         l l        l 0                            приращению потенциальной энергии деформации (3.11):
                                                                                ρ                          ρ       ρ ρ
                                                                              δ{u}Te ( ∫∫∫ [ B] E[ B]e dV){u}e = δ{u}Te {F}e ,
или в силу произвола вариации                                                                  T

                          1 l         EA ;
                   k 22 = 2 ∫ EA dx =                                                   V       e
                          l 0          l                           откуда следует
      Определяя по аналогии остальные коэффициенты, получа-                         ρ                    ρ                                      (3.12)
ем матрицу жесткости стержневого элемента, работающего на                          {F}e = ( ∫∫∫ BT EBdV){u}e
растяжение-сжатие                                                                                V