Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 47 стр.

                                      93                                                      94

 ρ
{F}e = [ F1 , F2 ] T
                  включает силы, статически эквивалентные             Требуется построить эпюры перемещений u ( x ′ ) и нор-
перемещениям элемента, распределенной нагрузке и темпера-        мальных напряжений σ. В расчетах принять ЕА=1.
турному воздействию:
           ρ          ρ      ρ       ρ
                       [ ]
          {F} = K {u} + {F } + {F }
                e          e      e        q   e
                                                   (3.13)
                                                   T e

Этот вектор вычисляется в локальной системе координат.

     Составление уравнений равновесия бруса
     Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ,
единой для всех элементов конструкции (рис.3.1,а). При этом
компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-
лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к
глобальным координатам, используя глобальную нумерацию
степеней свободы. В случае одноосного растяжения и сжатия
матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-
ной и глобальной координатах совпадают.
         Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-
ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов.                а)         б)         в)            г)
Например, для узла с номером m можно записать:                                              Рис. 3.3
                       m       ∑
                P + ( − {F } ) = 0
                               e ∈m
                                      m    e
                                                     (3.14)
                                                                      Выполнение расчета.
где Pm - внешняя сосредоточенная сила, приложенная к узлу m
по направлению оси ОХ;                                                Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
     -{Fm}e - усилие, действующее на узел m со стороны эле-      мента с узлами в точках 1,2,3,4,5 (рис3.3,б). Начало координат
мента е.                                                         совместим с точкой 1 (заделкой), а ось ОХ глобальной системы
Сумма в (3.14) берется по всем элементам, содержащим узел m.     координат направим вниз по оси стержня.
                                                                      Введем следующее обозначение k =
                                                                                                           EA , и покажем все
     3.1.1. Пример расчета ступенчатого бруса                                                               l
при растяжении и сжатии                                          усилия, действующие на каждый конечный элемент и вырезан-
                                                                 ные узлы (рис.3.4)
      Стержень, изображенный на рис.3.3,а , находится под дей-         Расписывая уравнения равновесия (3.14) для каждого узла
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q      в отдельности, получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю
и сосредоточенной силы F=ql.                                     неизвестными