Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 49 стр.

                                   97                                                                        98

или                                                                         так как ∆ = 0, ЕА = 1, ql = F, то
                                     ρ    ρ
                                [ K]{u} = Q { }                                         1 0   0 0 0  u 1   0 
                                                                                        0 4 − 2 0 0  u   Fl 
        Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-                                           2            
нечных элементов. Эта матрица имеет симметричную ленточ-                                0 − 2 3 − 1 0  u 3  = 0,5Fl .
ную структуру, является неотрицательно определенной.                                                                 
 ρ                                                                                      0 0 − 1 2 − 1 u 4  0,5Fl 
{u} = [u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 ] T - вектор неизвестных узловых пере-
                                                                                        0 0  0 − 1 1  u 5   Fl 
мещений;
 ρ
{Q} - вектор внешних узловых сил.                                                Решение полученной системы линейных алгебраических
                                                                                                                                    ρ
                                                                            уравнений относительно неизвестного вектора перемещений u,
      Учет граничных условий.
                                                                            проведем методом главных элементов в виде таблицы 3.1
      Матрица [K] в системе уравнений (3.15) является вырож-
денной, поэтому перемещения по заданным силам определяются
                                                                                                                            Таблица 3.1
неоднозначно, т.е. с точностью до жесткого смещения тела. Что-
бы исключить это, необходимо поставить граничные условия,                    mi          u1     u2      u3        u4   u5   Свободные
т.е. наложить внешние связи на конструкцию. Пусть, например,                                                                члены
известно, что перемещение u1=∆. Тогда система уравнений (3.15)               0           1      0       0         0 0       0
может быть преобразована с помощью следующих операций:                       1           0      4       -2        0 0       Fl
         -все коэффициенты в первой строке, за исключением                   -0,5        0      -2      3         -10       0,5Fl
диагонального к11, приравнивают нулю;                                        0           0      0       -1        2 -1      0,5Fl
          -компоненту Q1 заменяют на к 11 ∆ = EA ∆ ;                         0           0      0       0         -11       Fl
                                                    l                        -0,5        -      -       2         -10       Fl
        -члены, содержащие заданное значение u1=∆, переносят                 1           -      -       -1        2 -1      0,5Fl
в правую часть системы.                                                      -0,5        -      -       -         -11       Fl
        В нашем примере система (3.15) с учетом сказанного                   1           -      -       1,5       - -0,5    1,25Fl
может быть записана в виде:                                                  -0,33333    -      -       -0,5      - 0,5     1,25Fl
         1 0   0  0  0   u 1   ( EA / l) ∆                             -           -      -       -         - 0,333   1,66667Fl
         0 4 − 2 0   0   u 2  ql + 2( EA / l) ∆                                                               33
      EA                                                               Ответ:     0      1,5Fl 2,5Fl 4,0Fl 5,0Fl
         0 − 2 3 − 1 0   u 3  =     0,5ql       
       l                                                                      В результате решения преобразованной системы полу-
         0 0 − 1 2 − 1  u 4         0,5ql                             чим
         0 0  0 − 1 1   u 5      F         