Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 46 стр.

                                                   91                                                                           92


где [ k ] е =   ∫∫∫ [ B]
                             T                                                                   l
                                 EBdV - матрица жесткости стержневого эле-
                 v
                             e
                                                                                                 ∫ q ( N δu
                                                                                                 0
                                                                                                       1      1   + N 2δu2 )dξ + F1q δu1 + F2 q δu 2 = 0
мента размерности 2х2.
      Если в (3.12) модуль упругости Е заменить на соответст-                            Учитывая, что N 1        = 1− ξ / l и N2 = ξ / l,           а также про-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука, то                                извол вариаций узловых перемещений δu1, δu2, находим
эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-                                                            l

сти и для элементов любого типа.                                                                            Fjq = − ∫ qN jdx          ( j = 1,2 )
                                                                                                                        0
                                                                                                                            ρ
      Определение статически эквивалентных узловых усилий.                                    При q = const имеем           Fq( e ) = [ − ql / 2; − ql / 2] T
      Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия, действующие на стержневой конечный элемент со стороны                               Отметим, что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-
узлов; в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить                            темы координат Оξ;
с обратным знаком.
                                                                                              б) действие температуры.
                                                                                         Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ). Тогда
       а) действие распределенной нагрузки                                                                                            ρ
                                                                                         компоненты вектора узловых сил {FT }e = F1T , F2T    [опре-       ]T
                                                                                         делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации
                                                                                         потенциальной энергии деформации элемента:
                                                                                                           F1T δu 1 + F2 T δu 2 = ∫∫∫ δεσdv
                                                                                                                                          V
                                                                                              Учитывая, что
                                           Рис. 3.2                                      σ(ξ) = −EαT(ξ), ε = du / dξ, u = (1 − ξ / l) u1 + (ξ / l) u2 ,
                     ρ                                                                   в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
                                 [F            ]
                                                   T
       Пусть {F} =                 1q
                                        F2 q           - вектор усилий в узлах элемен-                        αEA l
та, уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-                                              FjT = ±
                                                                                                               l 0
                                                                                                                  ∫ T(ξ)dx ( j = 1,2)
стью q (рис.3.2).
                                                                                              При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
      Применим принцип возможных перемещений: полная вир-                                                    ρ
                                                                                                            {FT }e = [αTEA; − αTEA ] .
                                                                                                                                    T
туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-
ответствующих вариациях перемещений элемента, находящего-                                     Компоненты F1T, F2T направлены вдоль оси Оξ.
ся в равновесии, должна быть равна нулю
                         l
                                                                                              Таким образом, полный вектор узловых усилий на элемент
                         ∫ qδudξ + F
                         0
                                           1q
                                                δu1 + F2 q δu 2 = 0
Используя (3.4) это равенство перепишем в виде