Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 5 стр.

                                            9                                                                                     10

ρ ϖ ρ                   ρ                ρ T
c = (c1 c 2 Λ           cj     Λ         c y ) - вектор координат узлов, со-                 Для стержня, изображенного на рис.1.1,а, можно составить
                                                                                        уравнения равновесия в матричном виде
ставленный из векторов                                                                                       ρ       ρ
                                                                                                             N = FN ,                          (1.6)
    ρ x  ρ x               ρ x j       ρ xy                                                                      ek         ен
    c1 =  1 , c1 =  1 ,Λ , c j =  ,Λ , c y =  ,  (1.3)                          где
          y1        y1           y j         yy                                                 N ek                         N ен                1 0 0
     ρ                                                                                         ρ                              ρ
где c j - вектор, компонентами которого являются координаты
                                                                                               N ek =  Qek ,              N ен =  Qен           F = 0 1 0
узла с номером j.
                                                                                                        M ek                       M ен              0 l 1
Значок «T» обозначает операцию транспонирования матрицы.
Напомним, что матрица АТ называется транспонированной, если                                  Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же
              *
ее элементы aij связаны с элементами исходной матрицы А со-                             стержня (см. рис. 1.1,а и 1.1,б), получим
                                                                                              ρ            ρ                 ρ          ρ
                                                                                              X = −Ψ ⋅ N ;                  X    = Ψ ⋅ N   (1.7)
отношением aij = a ji .
            *                                                                                       ен              ен                    ек               ек

                                                 ρ                                      или
                                                                                                   ρ            ρ                          ρ          ρ
     Зная компоненты вектора П , можно определить длины                                            N ен = − Ψ ⋅ X ен                       N ек = Ψ ⋅ X ек ,     (1.8)
                                                 ρ
стержней le и векторы их направляющих косинусов α e (е =
                                                                                        где
1,2,…,с) по формулам
                         ρT ρ                                                                      X ен              X ек         cos α sin α 0
                                                  (1.4)                                   ρ                   ρ
                             le = П e ⋅ П e                                               X ен =  Yен     X ек =  Yек    Ψ =  sin α − cos α 0
                                ρ   1 ρ                                                            M ен            M ек        0       0    1
                               α e = Пe                                         (1.5)
                                    le
                                                                                                Заметим, что матрица Ψ , связывающая усилия и силовые
      Перейдем теперь к установлению связей между усилиями,                             факторы на концах стержня, является ортогональной
действующими на концы          стержня е, в местной    х ′оу ′
                                                                                        ( Ψ −1 = Ψ ). Подставляя в формулу (1.6) выражения усилий в
(рис.1.1,а) и общей хоу (рис.1.1,б) системах координат                                  местной системе координат (1.8), получим
   а)                             б)                                                                  ρ               ρ         ρ
                                                                                                     X = −Ψ ⋅ F ⋅ Ψ ⋅ X = Φ ⋅ X ,             (1.9)
                                                                                                            еk                       ен            ен
              у                                                у                                Перемножением соответствующих матриц можно полу-
                                                                                        чить
     у/
                                     х/                                  Yek
                        M ek                                                   Mek                                        −1 0      0
                                                                     е                                            ρ                   
                                Nek                                                                     Φ = −Ψ ⋅ F ⋅ Ψ =  0 − 1 0 
                                                ly    Хен                      Xek
                    α          Qek                                                                                       − l y l x − 1
                                                                                х
                                                                                                                                      
                                     х
          О
              Qен                                          0   Yен                              Заметим, что матрица Φ , устанавливающая связь между
                                                     Mен                 lx             усилиями на концах стержня, может быть непосредственно по-
                                         Рис.1.1.