Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 6 стр.

                                             11                                                                                       12

лучена составлением уравнений равновесия для стержня, изо-                                   Здесь прямоугольная блочная матрица S1 имеет 3У строки и 6С
браженного на рис.1.1,б.
      Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-                               столбцов и получается из структурной S C заменой элементов 1"
дятся nj стержней ( рис.1.2).                                                                на блок E1 , элементов "-1" на блок E 2 и элементов "0" на нуле-
              ρ
        Пусть Pj = Pxj [                         ]T
                       Pyj Pxyj - вектор внешней нагрузки,                                   вую матрицу Ο , т.е.
                          ρ
приложенный к узлу j, а X e = [X e Ye M e ] - вектор усилий                                        1 0 0 0 0 0               0                     0 0 1 0 0
                                           T

                                                                                                   
                                                                                              E1 = 0 1 0 0 0 0       E 2 = 0                     0 0 0 1 0
на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому узлу.
Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:
                                                                                                   0 0 1 0 0 0             0                    0 0 0 0 1
                               ρ    nj
                                       ρ
                               Pj = ∑ X e                                       (1.10)                           0 0 0 0 0                          0
                                                                                                            Ο = 0 0 0 0 0                          0
                                      e =1


                                                                   Далее перейдем к                              0 0 0 0 0                         0
                    Pyj               Ye
                                                             составлению уравнений                 Уравнения (1.11) необходимо дополнить соотношениями
                                                             равновесия для всей сис-        связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (1.9),
                                                             темы в целом. Обозна-           которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
                                             Xe                                                                       ρ
            Pxyj                                             чим                через                                                             (1.12)
                                                             ρ ρ ρ       ρ    ρT                                   S 2Y = 0 ,
                           j    Pxj                             [
                                                             Y = Y1 Y2 Λ Ye Λ Yc         ]   где S 2 квазидиагональная матрица
                                      вектор внутренних уси-
                                     лий в стержнях фермы.                                                                  E 3,1    Ο       Ο    Ο 
                                                                                                                                                        
                                     Компоненты этого век-                                                                    Ο      E 3, 2   Ο    Ο 
                                     тора выражаются через                                                            S2 =                                ,
                                                                                                                           Λ        Λ        Λ    Λ 
              Рис.1.2                векторы усилий для                                                                                                 
концевых сечений каждого стержня в виде равенств
                ρ                                                                                                           Ο       Ο       Ο   E 3,C 
                Ye = [X ен     Yен      M ен          X еk    Yеk   M еk ] .                 блоки которой
        Связь        между            вектором                 внешних         нагрузок                       1          0      0 1 0 0
ρ ρ        ρ              ρ            ρ                        ρ
    [
P = P1     P2 Λ           Pj Λ         Py    ]
                                             T
                                                     и вектором Y представляет                      E 3, e
                                                                                                              
                                                                                                             =0          1
                                                                                                                                         
                                                                                                                                 0 0 1 0, (e = 1, 2, Κ , C )
собой объединение в одно матричное соотношение уравнений                                                      l ey     − l ex   1 0 0 1
                                                                                                              
равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-                                   Объединив (1.11) и (1.12), получим матричное уравнение
рицы S c :                                                                                                                  ρ
                       ρ     ρ                                                                                        ρ  P   S1  ρ                          (1.13)
                       P = S Y.                    (1.11)                                                             Q =  ρ =   ⋅ Y ,
                                         1
                                                                                                                           0  S 2 