Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 7 стр.

                               13                                                                14

которое связывает внешние силы, приложенные к узлам систе-            Кроме этого определитель системы det S P должен быть
мы, с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней, а       отличным от нуля. Это условие, означающее геометрическую
также связь внутренних усилий между собой. Уравнение (1.13)      неизменяемость конструкции, является достаточным условием
можно записать в более компактной форме
                      ρ       ρ                                  разрешимости рассматриваемой системы (1.15).
                                                                                                       ρ
                     Q = S ⋅Y                      (1.14)
                           *
                               ρ    ρ                                 Тогда вектор неизвестных усилий Z легко определяется
     Размерности векторов Q и Y         соответственно равны     решением системы (1.15)
                                                                                      ρ         ρ
                                                                                     Z = S −1 ⋅ T                   (1.16)
(3У+3С)×1 и (6С×1), а матрицы S * - (3У+3С)×6С. Следователь-
                                                                                     ρ      P

но, матрица S * в общем случае не является квадратной. Однако,   Затем строим вектор Y , после этого с использованием равенства
                                             ρ                   (1.14) находим опорные реакции, а с помощью соотношений
с учетом того, что среди компонентов вектора P имеются неиз-     (1.8) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-
вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки, а также      мой конструкции.
среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-             Отметим два случая, которые могут встретиться при рас-
мер, моменты в сечениях около шарниров), уравнение (1.14) за-    чете конструкций:
писывается в виде
                       ρ      ρ                                         -опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-
                       T = S ⋅Z                      (1.15)      ний общей системы координат. В этом случае вместо опорного
           ρ              P
                                   ρ                             стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-
где вектор T получается из вектора Q удалением тех элемен-
                                                                 вольной длины, направление которого совпадает с направлением
тов, которые соответствуют наложенным на систему связям (на-
                                             ρ              ρ    опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-
пример, числу опорных стержней С0), а вектор Z - из вектора Y    ными стержнями, параллельными осям координат;
удалением тех элементов, которые являются заведомо нулевыми             -сосредоточенный момент действует в непосредственной
и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе.        близости около шарнира. Для общности расчета этот момент
Матрица S P получается из матрицы S * удалением строк, соот-     следует считать приложенным на некотором малом удалении lx
                                                 ρ               (lx → 0) от шарнирного узла. При этом, формируя матрицу S 2
ветствующих удаленным элементам в векторе Q , и столбцов,
                                                 ρ               при заполнении соответствующей матрицы E3,e , нужно поло-
соответствующих удаленным элементам вектора Y .
       Для разрешимости системы (1.15) необходимо, чтобы мат-    жить lex и ley равными нулю.
рица S P была квадратной, поэтому должно выполняться усло-             При расчете стержневой системы на действие нескольких
                                                                                         ρ ρ ρ
вие                                                              вариантов нагрузки P1 , P2 , P3 ,Κ , в уравнениях (1.14) и (1.15)
                       3У+3С-Соп = 6С-Ш                                                ρ
                                                                 вектор нагрузки      P можно заменить матрицей нагрузки
                                                                     ρ     ρ     ρ                  ρ ρ ρ ρ
или
                        3У = 3С+Соп-Ш,                                [
                                                                 P = P1    P2    P3     ]
                                                                                      Κ , а вектора Q, T , Y , Z - соответствующи-
т.е. число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-     ми матрицами Q , T , Y , Z .
лий.