ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Y
x
= –
5
)3(825,0
−
⋅
x
+ 6 = –0,4x + 7,2.
6.7 Предельные теоремы теории вероятностей
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждом из которых
устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных
данных к математическому ожиданию случайной величины.
В основе доказательства этих теорем лежит неравенство, установленное известным русским мате-
матиком Чебышевым. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величи-
ну, имеющую n возможных значений x
1
, x
2
, …, x
n
. Дисперсия такой величины
D
x
=
∑
=
−
n
i
ixi
pMx
1
2
)( . (6.38)
Пусть α – любое положительное число. Исключим из суммы (6.38) все члены, для которых | x
i
– M
x
|
≤ α.
В этом случае сумма уменьшится
D
x
>
∑
=
−
k
j
jx
pMxj
1
2
)( , (6.39)
где k < n.
Если теперь в правой части неравенства (6.39) все значения (x
j
– M
x
) заменить на меньшее значение
α
2
, то неравенство усилится
D
x
>
∑
=
α
k
j
j
p
1
2
. (6.40)
В неравенстве (6.40) p
j
– это вероятности таких значений x
j
, для которых | x
j
– M
x
| > α, а вся сумма
∑
=
k
j
j
p
1
представляет собой вероятность того, что случайная величина | X – M
x
| больше α, т.е.
D
x
> α
2
P (| X – M
x
| > α).
Откуда
P(|X – M
x
| > α) <
2
α
x
D
. (6.41)
Неравенство (6.41) называется неравенством Чебышева. Это неравенство позволяет оценить веро-
ятность того, что |X – M
x
| > α.
З а м е ч а н и е. Если рассмотреть противоположное событие |X – M
x
| < α, то вероятность такого со-
бытия
P(| X – M
x
| < α) > 1 –
2
α
x
D
. (6.42)
Неравенство (6.42) используется, в частности, для доказательства теоремы Чебышева.
Теорема 6.7.1 (теорема Чебышева). Пусть имеется конечная последовательность X
1
, X
2
, …, X
n
неза-
висимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограни-
ченными одной и той же постоянной С
M(X
1
) = M(X
2
) = … = M(X
n
) = m,
D(X
1
) ≤ C, D(X
2
) ≤ C, …, D(X
n
) ≤ C.
Тогда каково бы ни было положительное число α, вероятность события
α<−
+++
m
n
XXX
n
...
21
стремится к единице при n → ∞.
Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает сред-
