ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой,
оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточ-
но большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих
измерений приближается к математическому ожиданию.
Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство
во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными
законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы.
Указанное свойство подтверждается доказанной русским математиком Ляпуновым интегральной
предельной теоремой. Приведем эту теорему без доказательства.
Теорема 6.7.2
Центральная предельная теорема.
Пусть ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
– последовательность независимых, одинаково распределенных случайных вели-
чин, М ξ
i
= m; D ξ
i
= σ
2
. Тогда выполняется следующее: P[(ξ
1
+ ξ
2
+ ... + ξ
n
) – nm/σn
1/2
< x] –> Ф(x) при n
–> бесконечн., где Ф(x) = 1/(2π)
1/2
∫
− dyye )2/(^
2
.
П р и м е ч а н и е
1) Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независи-
мых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распре-
деление, близкое к нормальному.
2) Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины ξ в проме-
жуток от α до β используется формула
P(X < ξ < β) = Ф[(β – a)/σ] – Ф[(α – a) / σ].
Пример. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная
величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, а = 950 кг, σ = 150кг.
Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши
а) окажется больше 1250 кг;
б) отклонится от математического ожидания меньше, чем за 50 кг.
Р е ш е н и е
а) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг, можно понимать
как вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1250 кг до бесконеч-
ности.
Ф(X > 1250) = Ф(бескон.) – Ф[(1250 – 950) / 150].
Найдем по таблице функции Лапласа значение Ф(z).
Ф(бескон.) – величина, близкая к 0,5.
Ф(2) = 0,47725.
Отсюда P(X > 1250) = 0,5 – 0,47725 = 0,02275.
б) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического
ожидания меньше, чем на 50 кг, т.е.
P(| X – 950| < 50) = P(900 < X < 1000) =
= Ф[(1000 – 950)/150] – Ф[(900 – 950)/150] = Ф(0,33) – Ф(–0,33)
Ф(–z) = –Ф(z).
Ф(0,33) = 0,1293.
Следовательно, P(|X – 950| < 50) = 0,2586.
Ответ: а) 0,02275; б) 0,2586.
Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики.
