ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ское ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий, т.е. смешан-
ный центральный момент второго порядка
µ
xy
= M((X – M
x
)(Y – M
y
)). (6.31)
Для дискретных случайных величин ковариация принимает вид
µ
xy
=
∑∑
==
−−
n
i
m
j
jiyjxi
yxpMyMx
11
).,())((
(6.32)
Для непрерывных случайных величин она записывается через интеграл
µ
xy
=
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−− .),())(( dxdyyxpMyMx
yx
(6.33)
Ковариацию можно представить в виде
µ
xy
= M(XY – M
x
Y – M
y
Y + M
x
M
y
) = M(XY) – M
x
M
y
– M
y
M
x
+ M
x
M
y
или
µ
xy
= M(XY) – M
x
M
y
. (6.34)
Коэффициентом корреляции r
xy
случайных величин X и Y называют отношение ковариации к
произведении средних квадратичных отклонений этих величин
r
xy
=
нч
чн
σσ
µ
, (6.35)
где –1 ≤ r
xy
≤ 1.
Две случайные величины называют коррелированными, если их ковариация или коэффициент
корреляции отличны от нуля, и некоррелированными, если они равны нулю.
Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Предположим, что некоторая величина
Y
при-
ближенно представляет величину Y и может быть записана как функция от X, чаще всего в виде линей-
ной зависимости.
Y
= g(X) = α(X) + β, (6.36)
где α и β – неизвестные пока параметры.
Требуется так подобрать параметры α и β, чтобы функция g(X) была наилучшим приближением к
случайным значениям Y.
В качестве меры отклонения множества случайных значений величины Y от значений
Y
можно
взять математическое ожидание квадрата разности Y –
Y
, т.е. M(Y – g(X))
2
.
Минимизация этого выражения позволяет получить соотношения для определения параметров α и
β. Полученную таким способом функцию g(X) = αX + β называют наилучшим приближением Y по мето-
ду наименьших квадратов, а функцию y
x
= M(Y/X = x) = αx + β называют линейной средней квадратиче-
ской регрессией Y на X.
Теорема 6.6.1 Линейная средняя квадратическая регрессия Y и X имеет вид
y
x
= r
xy
σ
y
x
x
mx
σ
−
+ m
y
, (6.37)
где σ
x
=
x
D , σ
y
=
y
D , r
xy
=
yx
xy
σσ
µ
, m
x
= M(X), m
y
= M(Y).
Пример. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию Y при следующих исходных дан-
ных: математическое ожидание m
x
= 3, m
y
= 6, ковариация µ
xy
= –10, средние квадратичные отклонения σ
x
= 5, σ
y
= 8.
Р е ш е н и е
Находим коэффициент корреляции
r
xy
=
x
x
mx
σ
−
= –
85
10
⋅
= –0,25.
Подставим все известные значения в выражение (6.37)
