Составители:
105
Катастрофами называются скачкообразные изменения,
возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное
изменение внешних условий.
При катастрофе под действием
управляющих параметров изменяется стационарное состояние системы,
т.е. она переходит из одного стационарного состояния в другое. Как
проходит переходный процесс - для теории катастроф, в сущности,
неважно. Стационарные или установившиеся состояния могут быть как
неподвижными, так и подвижными (например, после бифуркации
Андронова-Хопфа устанавливаются автоколебания).
Р. Том доказал
важную теорему в теории катастроф, которая помогла
классифицировать катастрофы по типу, и ввел так называемые
элементарные или канонические катастрофы.
Уравнение системы задается в общем виде следующим образом:
dx
d
t
Fx= (,
)
λ
или в покоординатном виде
dx
dt
Fx i n
i
i
==(, ), ,
_
λ
1 ,
где F(x,λ) – нелинейная векторо-значная функция, x – вектор
состояния, λ – вектор управляющих параметров мерностью k.
Р. Том рассматривал градиентные системы, т.е. такие, для которых
выполняется условие
dx
dt
E
x
=−
∂
∂
. Это выражение объясняется
следующим образом. В правой части находится частная производная от
потенциальной функции Е= Е(х, λ) системы по вектору состояний, т.е.
антиградиент (из-за знака «минус») потенциальной функции. Для
технических систем потенциальная функция отождествляется с
потенциальной энергией. Антиградиент направлен в сторону уменьшения
потенциальной функции, а его длина
определяет скорость этого
уменьшения. В левой части находится производная по времени от
координат системы, т.е. скорость их изменения во времени. Полагается,
что целью функционирования градиентных систем является минимум
потенциальной функции (энергии). В стационарных точках производная
x
dx
dt
•
=
равна нулю, следовательно, градиент потенциальной функции
равен также нулю, а это является необходимым условием минимума
потенциальной функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
