Составители:
106
Для минимизации потенциальной функции в нашем распоряжении
имеется k-штук управляющих параметров λ1, λ2, ..., λk. Изменяя их так,
чтобы добиться минимума потенциальной функции, мы приводим систему
в состояние равновесия.
Очевидно, что существует множество (бесконечное) таких
градиентных систем. Между тем, если ввести подходящие преобразования
координат векторов х и λ, то многие
из этих систем окажутся
идентичными, близкими по поведению; особенно если мы отсеем все
несущественное в движении системы и будем рассматривать только такие
свойства потенциальной функции Е( х,λ), которые отражают только ее
геометрический вид.
Теорема Тома позволяет классифицировать все гладкие
потенциальные функции. Наиболее замечательным свойством этой
классификации является то, что она
зависит только от числа k
управляющих параметров, которое считается конечным.
В чем ее важность для приложений?
В какой-нибудь задаче функция Е(х, λ) не известна, т.е. не
существует математической модели системы, но предполагается, что Е(х,λ)
существует. Благодаря классификации мы можем создать модель системы,
используя
небольшой набор конечного числа элементарных
потенциальных функций, предполагая, что от реальной системы наша
модель будет отличаться только преобразованием координат. Кроме того,
теорема Тома гарантирует структурную устойчивость канонической
модели. Следовательно, модель должна проявлять те же свойства
топологического характера, что и каноническая модель.
Рассмотрим пример.
Пусть имеется некоторая система, про которую мы знаем,
что она
подвержена катастрофе от действия одного управляющего параметра λ.
Получим каноническую модель этой системы. Из классификации Тома
выбираем каноническую потенциальную функцию
Ex x x(, )
λλ
=+⋅
3
.
Находим ее антиградиент
−=−−
∂
∂
λ
E
x
x3
2
. Приравниваем антиградиент производной
от координаты по времени, получаем динамическую модель системы.
∂
∂
λ
x
t
x=− −3
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
