Составители:
77
2.4.3. Бифуркация типа «сборки»
Рассмотренный случай нелинейного дифференциального уравнения
xx
x
•
=− +
3
λ
является частным случаем бифуркации типа «сборки».
Общий случай представляет уравнение
xx x
•
=− + +
3
λμ
.
Обратим внимание, что в этом уравнении два управляющих
параметра: λ и μ. Первое уравнение получается из второго при μ=0.
Поэтому рассмотренная ранее бифуркация имеет свое название-
«камертон», хотя и относится к классу бифуркаций типа «сборки» (при
μ=0).
Получим стационарное решение
−+ +=xx
ss
3
0
λμ
Уравнение 3-его порядка может иметь 3 корня:
При D > 0 – один действительный и два комплексно- сопряженных
(или чисто мнимых) корня,
при D < 0 - три действительных различных корня,
при D = 0 - один нулевой корень 3-ей кратности, если p = q = 0,
два действительных одинаковых корня и один действительный
разный корень, если
pq
32
0
=− ≠ ,
где p и q коэффициенты, определяемые из канонической формы
алгебраического уравнения третьей степени
ypyq
3
32
0
++=,
а дискриминант D равен
Dq p=+
23
.
При D > 0 существует один, физически возможный корень, т.е. одно
состояние равновесия, при D = 0 происходит резкое изменение свойств
системы: одно состояние равновесия сменяется на три состояния
равновесия. Следовательно, условие D = 0 является условием бифуркации
или катастрофы.
Приводим наше уравнение к каноническому виду
xx
s
s
3
0
−−=
λμ
.
Тогда 32pq=-
=
−
λ
μ
, и pq=-=−
λ
μ
3
2
, ,
а дискриминант равен
D =− +
λμ
32
2
74
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
