Экономико-математическое моделирование в химии и экологии. Бутырская Е.В - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

12
При ограничениях
- x
1
+5 x
2
+ х
3
= 30
x
1
+ x
2
+ х
4
= 12
x
i
0
1 шаг
Выберем x
3
, x
4
за основные переменные, а x
1
, x
2
за неосновные переменные.
Выразим основные переменные и F через неосновные переменные.
−−=
+=
)2(12
)1(530
214
213
ххх
ххх
Система уравнений (1) и (2) называется общим решением системы ограничений
в базисе х
3
, х
4
. Положим в общем решении неосновные переменные х
1
и х
2
равными нулю , получим решение системы ограничений в виде х
1
=0, х
2
=0,
х
3
=30, х
4
= 12, или кратко в векторном виде Х = ( 0, 0 , 30, 12), которое
называется базисным решением или начальным планом задачи. Базисное
решение называется допустимым, если все компоненты вектора Х
неотрицательны . В данном случае мы получили допустимое базисное решение.
В этом случае выражаем целевую функцию через неосновные переменные. На
первом шаге F уже выражена через х
1
и х
2
.
F = - 2 x
1
- 4 x
2
min
Данное решение не является оптимальным, так как переменные х
1
и х
2
входят
в F со знаком минус и , увеличивая х
1
и х
2
можно уменьшить F. Вводим
переменную х
2
, входящую в F с наибольшим отрицательным коэффициентом в
базис. Проанализируем максимальное увеличение этой переменной , чтобы все
остальные переменные остались неотрицательными. Из (1 ) следует , что х
2
может быть максимально увеличена до 30 : 5 =6, из (2 ) до 12. Таким образом
переменную х
2
можно максимально увеличить до 6, при этом все остальные
переменные останутся неотрицательными.
Максимальное увеличение переменной х
2
определяется из уравнения ( 1 ).
Соответствующую этому уравнению переменную х
3
будем выводить из базиса.
2 шаг . Основные переменные х
2
и х
4
. Неосновные переменные х
1
и х
3
.
Из (1) имеем
3
1
2
2,02,06 ххх
+
=
Подставим х
2
в остальные ограничения и F, получим
(
)
3
1
3
1
1
4
2,02,162,02,0612 хххххх
+
=
+
=
Данный базис является допустимым, так как при нулевых значениях х
1
и х
3
значения базисных переменных неотрицательны . Рассчитываем F:
(
)
31311
x8,0x8,224х2,0х2,064x2F
+
=
+
=
Получили задачу
                                           12
При ограничениях
  - x1 +5 x2 + х3 = 30
    x1 + x2 + х4 = 12
    xi ≥0

1 шаг
Выберем x3 , x4 за основные переменные, а x1 , x2 за неосновные переменные.
Выразим основные переменные и F через неосновные переменные.
� х3 =30 +х1 −5 х 2 (1)
 �
   � х4 =12 −х1 −х 2 ( 2)
Система уравнений (1) и (2) называется общим решением системы ограничений
в базисе х3, х4 . Положим в общем решении неосновные переменные х 1 и х2
равными нулю, получим решение системы ограничений в виде х1 =0, х2 =0,
х3 =30, х4 = 12, или кратко в векторном виде Х = ( 0, 0 , 30, 12), которое
называется базисным решением или начальным планом задачи. Базисное
решение называется допустимым, если все компоненты вектора Х
неотрицательны. В данном случае мы получили допустимое базисное решение.
В этом случае выражаем целевую функцию через неосновные переменные. На
первом шаге F уже выражена через х1 и х2.
F = - 2 x1 - 4 x2 ⇒ min

Данное решение не является оптимальным, так как переменные х1 и х2 входят
в F со знаком минус и, увеличивая х1 и х2 можно уменьшить F. Вводим
переменную х2, входящую в F с наибольшим отрицательным коэффициентом в
базис. Проанализируем максимальное увеличение этой переменной, чтобы все
остальные переменные остались неотрицательными. Из (1 ) следует, что х 2
может быть максимально увеличена до 30 : 5 =6, из (2 ) – до 12. Таким образом
переменную х2 можно максимально увеличить до 6, при этом все остальные
переменные останутся неотрицательными.
Максимальное увеличение переменной х2 определяется из уравнения ( 1 ).
Соответствующую этому уравнению переменную х3 будем выводить из базиса.
2 шаг. Основные переменные х2 и х4. Неосновные переменные х1 и х3.
Из (1) имеем
х2 =6 +0, 2 х1 −0,2 х3
Подставим х2 в остальные ограничения и F, получим

х4 =12 −х1 −(6 +0,2 х1 −0,2 х3 ) =6 −1,2 х1 +0,2 х3
Данный базис является допустимым, так как при нулевых значениях х 1 и х3
значения базисных переменных неотрицательны. Рассчитываем F:

F =−2 x 1 −4(6 +0, 2х 1 −0,2 х 3 ) =−24 −2,8x 1 +0,8x 3

Получили задачу