Математика. Быкадорова Г.В. - 4 стр.

                                          4

                     1. Дифференциальное исчисление
              1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
     Можно установить среднюю скорость неравномерного движения за
некоторый промежуток времени, но как найти эту скорость для данного
момента? Можно вычислить среднюю плотность любого неоднородного
тела, но как определить его плотность в отдельно взятой точке? Можно
определить угловой коэффициент секущей, проходящей через две данные
точки кривой, но как определить угловой коэффициент касательной к
кривой в данной точке?
     Решение задач такого характера становится возможным лишь с
помощью производной, являющейся основным понятием математического
анализа, а изучение функций с помощью производной составляет предмет
дифференциального исчисления.
     Из физики известно, что закон падения материальной точки в пустоте
не зависит от ее массы и выражается формулой
                                                   gt 2
                                          s=            ,
                                                    2
где s – пройденный за время t путь; g – ускорение свободного падения.
     Пусть время возрастает на величину ∆t . Найдем среднюю скорость
υ ср за этот промежуток времени как
                      g (t +∆t ) gt 2
                                2

                   ∆s           −
              υср = =
                   ∆t
                           2
                             ∆t       2
                                               (               2
                                                                        )
                                  2 = g t 2 +2t∆t +∆t 2 −t 2 = g (2t +∆t ) .

Мгновенная скорость υ в момент времени t может быть найдена при
∆t → 0 :
                                  g
                                    (2t +∆t ) =gt .
                                υ = lim
                           ∆t → 0 2

    В общем случае пусть задана функция y = f (x ), график которой
изображен на рис.1.1.

         y

                                                            y = f (x)



         y2
               ∆y
         y1

                                    ∆x                                      Рис.1.1. График
                                                                            функции y = f (x ).
                           x1             x2
                                                                  x