Математика. Быкадорова Г.В. - 5 стр.

                                                     5
    Для двух значений аргумента x1 и x2 разность ∆x =x2 −x1 называется
приращением аргумента, а разность           ∆y = y 2 −y1 = f (x 2 ) − f (x1 ) -
приращением функции на отрезке [ x1 , x2 ].
    Для любого значения независимой переменной х можно найти предел
отношения приращения ∆y функции к приращению аргумента ∆x вида
                                         ∆y   f (x +∆x ) − f (x )
                                            =
                                         ∆x         ∆x
при ∆x → 0 . Нахождения этого предела существенным образом связано с
установлением основных понятий в самых различных областях науки и
техники. Поэтому в математическом анализе указанному пределу
уделяется особое внимание и присваивается специальное наименование -
производная функции.
Определение. Производной функции y = f (x ) по независимой переменной х
в данной точке х называется отношение приращения ∆y функции к
приращению аргумента ∆x при стремлении ∆x к 0.
    Для обозначения производной применяется символ y′ или f ′(x ):
                                                   ∆y          f (x +∆x ) − f (x )
                           y ′ = f ′(x ) = lim        = lim                        .
                                          ∆x → 0   ∆x  ∆ x → 0       ∆x
Пример 1.1. Найти производную функции y (x ) =3x 2 +5                                  и значение
       производной в точке х=3.
   Решение. Найдем приращение функции
                   2
                          (          )
    ∆y =3(x +∆x ) +5 − 3 x 2 +5 =3 x 2 +6 x ⋅ ∆x +3(∆x ) +5 −3 x 2 −5 =6 x ⋅ ∆x +3(∆x ) .
                                                                     2                        2


         Тогда по определению производная функции есть
                          ∆y         6 x ⋅ ∆x +(∆x )
                                                             2
                    y′ = lim = lim                   = lim (6 x +3 ⋅ ∆x ) =6 x .
                   ∆x → 0 ∆x  ∆x → 0        ∆x        ∆x → 0

    Значение производной в точке х=3 равно y′(3) =6 ⋅ 3 =18 .
Пример 1.2. Закон движения точки по прямой выражается зависимостью
         пути S (м) от времени t (с): S (t ) =2t 3 −5t +1 . Определить скорость
         точки в момент времени t=2 с.
   Решение. Пусть в момент времени t точка занимает положение А, а в
   момент t +∆t - положение В.
                                                    ∆S
                                 А                                   В
                                 S                                   S1
                                                    ∆t
                                                                                        ∆S
    Средняя скорость υ ср за промежуток времени ∆t есть υ cp =                             . Тогда
                                                                                        ∆t
    при ∆t → 0 получим мгновенную скорость υ м в момент времени t:
                                                                   ∆S
                                 υ м = limυ cp = lim                  =S t′ .
                                          ∆t → 0          ∆t → 0   ∆t