Математика. Быкадорова Г.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
1.4.
(
)
2
3xxf =
. Найти
(
)
(
)
(
)
1,3,2 −
′
−
′
′
fff
.
1.5.
()
3
3
x
xf =
. Найти
(
)
(
)
(
)
2,1,0
−
′
′
′
fff
.
1.6. Найти производную от функции
1
2
+= xy
.
1.7. Найти производную от функции
242
2
+−= xxy
.
1.8. Найти наклон касательной к кривой
4
2
−= xy
в точке, абсцисса
которой равна 2.
1.9. Найти наклон касательной к кривой
32
2
+−= xxy
в точке, абсцисса
которой равна 1.
1.2. Основные правила и формулы дифференциального исчисления
Пусть u и v – некоторые функции от х, имеющие производные при
рассматриваемых значениях х, а с – постоянная.
Формулы дифференцирования
1. с=const,
0
=
′
c
2.
()
ucuc
′
⋅=
′
⋅
3.
()
vuvu
′
±
′
=
′
±
4.
()
vuvuvu
′
+
′
=
′
⋅
5.
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′
6.
(
)
1−
⋅=
′
nn
xnx
и 1
=
′
x
7.
aaa
xx
ln=
′
8.
(
)
xx
ee =
′
9.
()
x
x
1
ln =
′
10.
()
xx cossin =
′
11.
()
xx sincos −=
′
12.
(
)
x
x
2
1
=
′
13.
()
x
tgx
2
cos
1
=
′
14.
()
x
ctgx
2
sin
1
−=
′
15.
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
16.
()
2
1
1
arccos
x
x
−
−=
′
17.
()
2
1
1
x
arctgx
+
=
′
18.
()
2
1
1
x
arcctgx
+
−=
′
В следующих примерах найти производные функций .
Пример 1.4.
25
23 exy
x
+−=
.
(
)
(
)
(
)
(
)
42525
103ln32323 xexexy
xxx
−=
′
+
′
⋅−
′
=
′
+−=
′
.
Пример 1.5.
3
2 xy
x
⋅=
.
()
32ln2322ln2222
223333
+⋅=⋅+⋅=
′
+
′
=
′
⋅=
′
xxxxxxxy
xxxxxx
.
Пример 1.6.
423
2
2
1
3
1
+−+=
−
xxxy
.
3
2
1
3
2
3
2
1
3
2
2
2
1
3
1
22
2
1
2
3
1
3423
−
−
−
−
−
−
−
++=+⋅+⋅=
′
+−+=
′
xxxxxxxxxy
. 
                                                           7

1.4.         f (x ) =3x 2 . Найти f ′(2), f ′(−3), f ′(−1).
                  x3
1.5.      f (x ) = . Найти f ′(0), f ′(1), f ′(−2) .
                  3
1.6.     Найти производную от функции y =x 2 +1 .
1.7.     Найти производную от функции y =2 x 2 −4 x +2 .
1.8.     Найти наклон касательной к кривой y =x 2 −4 в точке, абсцисса
         которой равна 2.
1.9.     Найти наклон касательной к кривой y =x 2 −2 x +3 в точке, абсцисса
         которой равна 1.

       1.2. Основные правила и формулы дифференциального исчисления
    Пусть u и v – некоторые функции от х, имеющие производные при
рассматриваемых значениях х, а с – постоянная.
                                           Формулы дифференцирования
1. с=const, c ′ =0                               2. (c ⋅ u )′ =c ⋅ u ′               3. (u ±v )′ =u ′ ±v ′
                                                           ′
                                                     � u�      u ′v −uv ′                     ′
4. (u ⋅ v )′ =u ′v +uv ′                         5. � � =                            6. (x n ) =n ⋅ x n −1 и x ′ =1
                                                      � v�         v2
         ′
7. (a x ) =a x ln a                              8. e
                                                      x
                                                       ( )′ =e     x                           ′
                                                                                     9. (ln x ) =
                                                                                                      1
                                                                                                      x
            ′
10. (sin x ) =cos x                              11. (cos x )′ =−sin x               12.   ( x )′ =       1
                                                                                                      2 x
                                                            ′                                       ′           1
13. (tgx )′ =                                                                        15. (arcsin x ) =
                      1                                                   1
                                                 14. (ctgx ) =−
                    cos 2 x                                            sin 2 x                                1 −x 2
               ′                   1                          ′
16. (arccos x ) =−
                                                                         1                         ′            1
                                                 17. (arctgx ) =                     18. (arcctgx ) =−
               1 −x                    2
                                                                       1 +x 2                                 1 +x 2
В следующих примерах найти производные функций.
Пример 1.4. y =3 x −2 x 5 +e 2 .
                                              ′       ′           ′       ′
                       y ′ =(3 x −2 x 5 +e 2 ) =(3 x ) −2 ⋅ (x 5 ) +(e 2 ) =3 x ln 3 −10 x 4 .
Пример 1.5. y =2 x ⋅ x 3 .
                       ′     ′            ′
                (         ) ( )                  ( )
        y ′ = 2 x ⋅ x 3 = 2 x x 3 +2 x x 3 =2 x ln 2 ⋅ x 3 +2 x ⋅ 3x 2 =2 x x 2 (x ⋅ ln 2 +3).
                               1            1

Пример 1.6. y =3x +2 x −x −2 +4 .
                               3            2


                                       ′
       �    1      1
                                 �             1 −
                                                   2
                                                        1 −
                                                               1
                                                                       −    −
                                                                                 2         1

y ′ =�� 3 x 3 +2 x 2 −x −2 +4 ��           =3 ⋅ x 3 +2 ⋅ x 2 +2 x −3 =x 3 +x 2 +2 x −3 .
         �                         �           3        2

Страницы