Математика. Быкадорова Г.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Производная сложной функции
Если
(
)
ufy =
, а
(
)
xu
ϕ
=
, т.е.
(
)
(
)
xfy
ϕ
=
, то y называется функцией от
функции или сложной функцией от х.
Правило дифференцирования сложной функции будет иметь вид
xux
ufy
′
′
=
′
.
В следующих примерах найти производную от сложной функции.
Пример 1.9.
(
)
5
2
1 xy +=
.
()
(
)
()()()
4
22
4
2
5
2
1101151 xxxxxy +⋅=
′
++=
′
+=
′
.
Пример 1.10.
xy
2
sin=
.
(
)
()
xxxxxxy 2sincossin2sinsin2sin
2
=⋅=
′
⋅=
′
=
′
.
Пример 1.11.
2
x
xey =
.
(
)
()
(
)
()
2
212
222222
xexexeexexxey
xxxxxx
+=⋅⋅+=
′
⋅+
′
=
′
=
′
.
Задания
1.15. Найти производные от сложных функций .
1.15.1.
2
1 xy += . 1.15.2.
(
)
3
4
1 xy += . 1.15.3. xy 6sin
=
.
1.15.4.
5
2
2
1
1
x
x
y
−
+
=
. 1.15.5.
3
2
2
1
1
x
x
y
+
−
=
. 1.15.6.
xtg
y
5
1
3
= .
1.15.7.
()
3
2
34 xy += . 1.15.8.
22
1 xxy −⋅= . 1.15.9.
x
arctge
−
.
1.15.10. xy sin= . 1.15.11.
x
x
y
12 −
=
.
1.15.12.
++=
4
2cos2
2
π
ϕϕ r
.
1.16. Дана функция
(
)
tabbatf cos2
22
−+= . Вычислить
()
.
2
3
,,
2
′′
′
π
π
π
fff
1.17. Дана функция
()
xxxf 2+= . Вычислить
(
)
.1f
′
1.18. Дана функция
()
22
cos1 ttf += . Вычислить .
2
′
π
f
1.3. Дифференциал функции
Согласно определению производной
x
y
y
x
∆
∆
=
′
→∆ 0
lim , где
(
)
xfy
=
.
Тогда
α+
′
=
∆
∆
y
x
y
, где
α
- бесконечно малая величина, отсюда следует
xxyy
∆
⋅
+
∆
⋅
′
=
∆
α
. Так как
0,0
→
∆
→
∆
α
x
, то
0
→
∆
⋅
∆
α
x
- бесконечно
малая величина второго порядка, а
xy
∆
- главное слагаемое . 
                                                              9


                                 Производная сложной функции
    Если y = f (u ), а u =ϕ(x ), т.е. y = f (ϕ(x )) , то y называется функцией от
функции или сложной функцией от х.
    Правило дифференцирования сложной функции будет иметь вид
                                      y ′x = f u′ ⋅ u ′x .
     В следующих примерах найти производную от сложной функции.

Пример 1.9. y =(1 +x 2 ) .
                                 5
                                                     ((
                                             y ′ = 1 +x 2
                                                          5 ′
                                                              ))          ( 4       ′
                                                                                       )(
                                                              =5 1 +x 2 1 +x 2 =10 x ⋅ 1 +x 2 .   )   4
                                                                                                                 (         )
                                                        ′
                                         y ′ =(sin 2 x ) =2 sin x ⋅ (sin x ) =2 sin x ⋅ cos x =sin 2 x .
                                                                            ′
Пример 1.10. y =sin 2 x .
                             2
Пример 1.11. y = xe .
                   x



                   ( )′ =(x)′ e
              y′ = xex
                       2
                                           x2
                                                      ( )′ =e
                                                +x ⋅ ex
                                                          2
                                                                   x2
                                                                        +x ⋅ex ⋅2x =ex (1+2x2 ).
                                                                                   2              2




                               Задания
1.15. Найти производные от сложных функций.
                                                1.15.2. y =(1 +x 4 ) .
                                                                              3
   1.15.1. y = 1 +x 2 .                                                                     1.15.3. y =sin 6 x .
                  1 +x 2                                                1 −x 2                                      1
   1.15.4. y =5          .                      1.15.5. y =3                   .            1.15.6. y =                  .
                  1 −x 2                                                1 +x 2                                       3
                                                                                                                  tg 5 x

   1.15.7. y =3 (4 +3x )2 .                     1.15.8. y =x 2 ⋅ 1 −x 2 .                   1.15.9. arctge −x .
                                                                         2 x −1
   1.15.10. y =sin x .                          1.15.11. y =                    .
                                                                           x
                                 π
   1.15.12. r = 2ϕ +cos 2 �� 2ϕ + �� .
                                     �          4�
                                                                                                        π�                  � 3π �
1.16. Дана функция f (t ) = a 2 +b 2 −2ab cos t . Вычислить f ′��                                          � , f ′(π ), f ′�       �.
                                                                                                      � 2�                   � 2 �
1.17. Дана функция f (x ) = x +2 x . Вычислить f ′(1).
                                                            π�                          �     �
1.18. Дана функция f (t ) = 1 +cos 2 t 2 . Вычислить f ′��      �.
                                                          � 2 �
                        1.3. Дифференциал функции
                                                                                       ∆y
     Согласно определению производной y ′ =∆lim                                           , где y = f (x ).
                                             x→ 0                                      ∆x
              ∆y
     Тогда       = y ′ +α , где α - бесконечно малая величина, отсюда следует
              ∆x
∆y = y ′ ⋅ ∆x +α ⋅ ∆x . Так как ∆x → 0, ∆α → 0 , то ∆x ⋅ ∆α → 0 - бесконечно
малая величина второго порядка, а y ′ ⋅ ∆x - главное слагаемое.

Страницы